5.3. Построение математической модели рынка и его моделирование

12. Построение модели рынка

Рассматривается рынок с одним товаром, который в соответствии с определением раздела 5.1 представим в виде трех подсистем:

• производители в совокупности, определяющие рыночное предложение;

• потребители, определяющие рыночный спрос;

• третья связующая подсистема – товар.

Первая подсистема представлена Q производителями, вторая - L потребителями этого продукта: Q – число, q - индекс, а Q - множество индексов производителей (фирм), аналогично l - индекс, L - число, L - множество потребителей, l= .

Математическая модель рынка должна отражать цели участников рынка и ограничения, накладываемые на их деятельность, а также учитывать внешнее окружение, которое может быть определено функциями спроса и предложения. Поэтому рассмотрим два варианта модели рынка:

• общая модель рынка, т. е. без учета функции спроса-предложения;

• модель рынка, учитывающая функции спроса-предложения.

Математическую модель одно - продуктового рынка (1 вариант) с учетом целей всех потребителей и производителей продукта, а также ограничений, накладываемых на их финансовые возможности (бюджет) и ресурсы, представим в виде векторной задачи математического программирования (ВЗМП):

opt F(X(t))= {F₁(X(t))={max f_q(X(t))= _qx_ql(t), q= }, (5.3.1)

F₂(X(t))={min f_l(X(t))= p_qx_ql(t), l= }}, (5.3.2)

b  p_qx_ql  b , l= , (5.3.3)

a_qx_ql(t) b_q , q= , (5.3.4)

p  p_q  p , x_ql(t)  0, q= , l= , (5.3.5)

где F(X(t)) - векторная целевая функция (векторный критерий), в ней K=QL - множество критериев - потребителей и производителей соответственно;

_q =p_q - a_q, q= - прибыль производителей, определяющаяся разностью между ценой продажи p_q и затратами a_q;

p_q, x_ql, q= , l= - управляющие переменные, они представлены в задаче произведением, из этого вытекает, что задача векторной оптимизации (5.3.1)-(5.3.5) - нелинейная;

в (5.3.1) F₁(X(t)) - векторный критерий Q производителей, которые максимизируют прибыль от производства и продажи отдельного вида товаров;

в (5.3.2) F₂(X(t)) - векторный критерий L потребителей, которые минимизируют свои затраты, за счет стоимости на покупаемую продукцию;

(5.3.3) - ограничения по бюджетным (финансовым) возможностям L потребителей, а (5.3.4) - ограничения по производственным мощностям Q производителей;

(5.3.5) - ограничения, определяющие пределы изменения стоимости единицы товара, установленные на рынке, и ограничения, связанные с не отрицательностью объемов произведенной и проданной продукции.

Задача (5.3.1)-(5.3.5) представляет модель одно - продуктового рынка на дискретный период tT.

Для решения векторной задачи математического программирования (5.3.1)-(5.3.5) используются методы, основанные на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, которые дают возможность решать задачи при равнозначных критериях и заданном приоритете критерия, представленные в девятой главе.

В результате решения задачи (5.3.1)-(5.3.5) - модели одно - продуктового рынка при равнозначных критериях получим:

• точку оптимума Х^o={x , p , q= , l= }, которая складывается из двух составляющих: x - объемы продукта, произведенного и проданного каждым производителем каждому потребителю, p - стоимости, которая удовлетворяет требованиям, как производителей, так и потребителей за период времени tT;

• величины целевых функций в точке X^o: f_k(X^o), k= , K=QL, в т. ч. f_q(X^o), q= , определяют доходы каждого производителя; f_l(X^o), l= , определяют затраты каждого покупателя;

• суммарный объем продаж всех производителей и финансовых затрат всех потребителей, которые равны между собой:

f_q(X)= (_ql+a_ql)x =f_l(X)= p x , (5.3.6)

т. е. суммарное предложение f_q(X) равно суммарному спросу f_l(X), заметим, что состояние рынка, при котором спрос равен предложению, называется равновесным, а цена, при которой достигается равенство спроса и предложения, называется равновесной ценой, т. е. p - равновесная цена;

• величины целевых функций f_k(X^o), k= , выраженные относительно своих оптимумов X , т. е.

_k(X^o)=(f_k(X^o)-f )/(f -f ), k= , (5.3.7)

где _k(X^o), k= , X^oS - нормализованный критерий, в котором f -наилучшее решение по kK критерию, f - наихудшее соответственно, K=QL - множество критериев;

• максимальную относительную оценку ^o, которая является максимальным нижним уровнем, и до которого подняты обоюдные интересы всех производителей и потребителей в относительных единицах _k(X^o), k= , другими словами, ^o является гарантированным результатом, который гарантирует, что в полученной оптимальной точке X^o все критерии в относительных единицах (оценки производителей и потребителей) равны или лучше ^o: _k(X^o)^o или

^o _k(X^o), k= , X^oS. (5.3.8)

Любое увеличение интересов (критерия) какого-либо производителя или потребителя, приводят к ухудшению оставшихся участников рынка (производителей и потребителей), т. е. точка {X^o, ^o} оптимальна по Парето.

Вектор - функция F₁(X)={f_q(X^o), q= } представляет собой функцию предложения, а вектор - функция F₂(X)={f_l(X^o), l= } представляет функцию спроса.

Дальше не надо

Пример 1. Линейная модель рынка.

Методологию моделирования рынка проведем в три этапа: постановка задачи, построение модели вида (5.3.1)-(5.3.5) и непосредственно моделирование.

Постановка задачи.

Дано. На объем производства и соответственно продаж оказывают влияние:

• производственные возможности производителей: a₁=a₂=400 - затраты на производство продукта у обоих производителей, b₁=b₂=150000 - финансовые возможности фирм при производстве продукта;

• цены на выпускаемый продукт фиксированы c_q =500, q=1, 2;

• финансовые возможности (бюджетные ограничения) потребителей: b =100000, b =300000, lL – минимальный и максимальный объем финансовых средств, в рамках которого они может осуществлять покупки продукта от разных фирм. Максимальная цена, которую в состоянии оплатить потребители, c^max=800.

Построить математическую модель рынка на основе оптимизационной задачи (5.3.1)-(5.3.5) и решить ее.

Построение модели рынка. Обозначим: x₁, x₂ – вектор переменных, характеризующий объемы продукции, произведенные первым и вторым производителем соответственно. Так как цены на выпускаемый продукт фиксированы, то это позволяет рассматривать задачу (5.3.1)-(5.3.5) как линейную.

С учетом введенных обозначений математическая модель рынка (5.3.1)-(5.3.5) может быть представлена в виде векторной задачи линейного программирования:

opt F(X)={max f₁(X) = ₁x₁ + ₂x₂ ,

min f₂(X) = p₁x₁ + p₂x₂},

при ограничениях b ≤ p₁x₁+ p₂x₂≤ b , a₁x₁≤ b₁, a₂x₂≤ b₂, x₁, x₂ 0,

или в числовом виде: p_q =500, a_q=400, _q=p_q - a_q=100, b_q=150000, q=1, 2, b =100000, b =300000

opt F(X)={max f₁(X) = 100x₁ + 100x₂ ,

min f₂(X) = 500x₁ + 500x₂ , (5.3.9)

при ограничениях 100000≤500x₁+500x₂≤ 300000, (5.3.10)

400x₁≤ 150000, 400x₂≤ 150000, x₁, x₂  0. (5.3.11)

где (5.3.9) - критерии производителей, максимизирующих свои прибыли; и критерии потребителей, минимизирующие свои затраты; (5.3.10) - ограничения по финансовым возможностям потребителя при приобретении первого и второго товара; (5.3.11) – ограничения по производственным мощностям при производстве двух товаров.

Для решения векторной задачи (5.3.9)-(5.3.11) использован алгоритм, основанный на нормализации критериев и принципе гарантированного результата при равнозначных критериях. На каждом шаге алгоритма используется симплексный алгоритм, представленный в системе Matlab.

Шаг 1,2. Решается задача (5.3.9)-(5.3.11) по каждому критерию отдельно (наилучшее, наихудшее). В результате решения получим:

X ={x₁=300, x₂=300}, f =f₁(X )=60000,

X ={x₁=100, x₂=100}, f =f₁(X )=20000;

X ={x₁=100, x₂=100}, f =f₂(X )=100000,

X ={x₁=300, x₂=300}, f =f₂(X )=300000.

Шаг 3. Выполняется стандартная нормализация критериев и анализ результатов решения, полученных по каждому критерию.

f_k(X ) =[f₁(X )=60000, f₂(X )=300000;

f₁(X )=20000, f₂(X )=100000].

_k(X ) =[₁(X )=1.0, ₂(X )=0.0; ₁(X )=0.0, ₂(X )=1.0].

Шаг 5. Построение -задачи:

^o= max , (5.3.12)

 -  0, (5.3.13)

 -  0, (5.3.14)

100000≤ 500x₁+500x₂ ≤ 300000, (5.3.15)

400x₁≤ 150000, 400x₂≤ 150000, x₁, x₂0. (5.3.16)

Шаг 4. Решение -задачи (5.3.12)-(5.3.16). ^o = 0.5,

X^o={x₁=0.4999, x₂=373.73, x₃=26.31}. f₁(X^o)=40000, f₂(X^o)=200020. ₁(X^o)=0.4999, ₂(X⁰)=0.5001, т. е. выполняются условия ^o ≤ _k(X^o), k=1,2.

В терминах стоимостей финансовые затраты производителей и потребителей равны между собой:

f_q(X)= (_ql+a_ql)x =f_l(X)= p_qx_ql,

- предложение равно спросу.