13.2. Построение агрегированной модели трехуровневой ис: предприятие - отрасли - регион и ее решение.

13.2.1. Введение.

При формировании годовых пятилетних планов предприятий обычно исследуется от нескольких сот до нескольких тысяч изделий и, если учесть, что в отрасли находится до нескольких десятков предприятий, то понятно, что задача (13.1.1)-(13.1.7) имеет очень большой объем информации и решение ее «в лоб» не представляется возможным. Для уменьшения объема информации, обрабатываемой в модели (13.1.1)-(13.1.7), при переходе от уровня предприятия к уровню отрасли и от уровня отрасли к уровню региона используем композиционные и декомпозиционные методы последовательного агрегирования информации разработанных в [1,2].

13.2.2. Агрегирование информации в математической модели: отрасль - предприятия

Для упрощения дальнейших вычислений выделим из модели (13.1.1)-(13.1.7) двухуровневую ИС отрасль - предприятия:

Opt F_o(X_o(t))={opt F_1o(X_o(t)) = {f_кп (X_п(t)), к= _п, п= _o}, (13.2.1)

opt F_2o(X_o(t))={f_ко(X_o(t))= f_кп(X_п(t)), к= _o, K_o= K_п }}, (13.2.2)

a_ijx_j(t)  b_i , i  M_o, (13.2.3)

a_ijx_j(t)  b_i , i  M_п, п= _o, (13.2.4)

x_j(t) u_j(t) , j= _п, п= _o, oO_r , rR. (13.2.5)

Обозначения аналогичные, как и в модели (13.1.1)-(13.1.7).

Агрегирование информации в модели (13.2.1)-(13.2.5) возможно при условии, что все предприятия, входящие в отрасль, должны иметь соизмеримые критерии (например, объемы продаж, прибыль, товарная и валовая продукция и т.п. для машиностроительных отраслей; объем строительно-монтажных работ, ввод основных фондов, капитальных вложений и т.п. для строительной отрасли и т.д.).

Предполагается, что выполняются основные условия агрегации [2], при этом несколько критериев (как минимум один) для всех предприятий входящих в отрасль oO_r в (13.2.1)-(13.2.5), должны обладать свойством аддитивности, т.е. критерии различных предприятий могут складываться, сохраняя технико-экономическую сущность показателя. Один из таких критериев назовем ведущим критерием.

Далее представим описание в соответствии с методикой (см. 5.6.2) в [2]

Шаг 1. Пусть в ВЗЛП (13.2.1)-(13.2.5) для всех предприятий ведущим критерием будет vK - объемы продаж, получаемые от производства Х_п , пП_o, oO_r объемов продукции.

Шаг 2. Решим ВЗЛП (13.2.1)-(13.2.5) для всех предприятий. в результате получим, что ведущий критерий f_v(Х*) для каждого предприятия лежит в пределах от величины f_v(Х^o_п), полученной при равнозначных критериях, до f_v(Х*), полученной при решении ВЗЛП по одному критерию vK, т.е.

f_v(Х_п^o(t))  f_v(Х_п(t))  f_v(Х*(t)), (13.2.6)

остальные критерии и ограничения определяются аналогично:

f_кп(Х^o_п(t))  f_кп (Х_п(t))  f_кп(Х*(t)), kK (13.2.7)

A_iХ^o_п (t)  A_iХ_п(t)  A_iХ*(t), iM. (13.2.8)

Шаг 3. Представим ведущий критерий f_v(Х_п(t)) одной переменной y_п=f_v(Х_п(t)), тогда обозначая y^o_п(t)= f_kп(X^o_п(t)), y*_п(t)=f_п(Х*_п(t)), соотношения (13.2.8) примут вид y^o_п(t)  y_п(t)  y*_п(t).

Примечание. Представление ведущего критерия f_v(Х_п(t)) одной переменной это частный случай общего подхода, когда ведущий критерий f_v(Х_п(t)) может быть представлен двумя, тремя и т. д. количеством переменных.

Шаг 4, 5. Предполагая линейную функциональную зависимость между ведущим критерием и остальными критериями и ограничениями при оптимизации, преобразуем их:

f_kп(Х^o_п(t))  c^o_kп +c_kпy_п (t) f_кп(Х*(t)), (13.2.9)

А_iX^o_п (t) a^o_iп+a_iпy_п(t)  A_iX*(t), iM. (13.2.10)

Расчет аппроксимационных коэффициентов см. раздел 5.6.

Шаг 6. С учетом введенных обозначений (13.2.9)-(13.2.10), преобразуем модель отдельного предприятия, входящую составной частью в ИС отрасль - предприятия (13.2.1)-(13.2.5) и имеющую N_п переменных X_п(t)={x_j(t), j= _п}, в векторную задачу, имеющую одну переменную Y_п(t) ={y_n(t), пП _o}:

opt f_kп(X_п(t))  opt f_kп(Y_п(t) ={

{opt f1_vп(Y_п(t)) =y_n(t), vK}, (13.2.11)

{opt f2_kп(Y_п(t) =c^o_ko+c_kn y_n(t)), к= _п }}, (13.2.12)

(a⁰_in+a_in y_n(t))  b_i , iM, (13.2.13)

(a⁰_in + a_in y_n(t))  R_i, iM, (13.2.14)

y_n^o(t)  y_n(t)  y_n*(t), пП _o, oO, (13.2.15)

где соотношение opt f_kп(X_п(t))  opt f_kп(Y_п(t) показывает, что векторный критерий f_kп(X_п(t)), описывающий функционирование п-го предприятия и взятый из (13.2.1), эквивалентен f_kп(Y_п(t) - агрегированному векторному критерию, каждая компонента которого функционально зависит от агрегированного вектора переменных Y_п(t) ={y_n(t)}, пП_o, oO, (в нашем случае вектор Y_п(t) состоит из одной компоненты, в общем случае таких компонент может быть любое количество и оно определено на шаге 3). Эквивалентность критериев (знак ) говорит о том, что количество компонент у них одинаково, а их величина отличается друг от друга соответственно на величину равную ошибке аппроксимации (подробнее см. в [2]);

агрегированный векторный критерий f_kп(Y_п(t)) состоит из дух подмножеств - первое (13.2.11) представлено одной компонентой, а второе (13.2.12) остальными компонентами множества K_п, пП _o, oO;

аналогично для ограничений:

ограничениям (13.2.4) эквивалентен их агрегированный вариант (13.2.15), а для ограничений (13.2.5) эквивалентен их агрегированный вариант (13.2.14):

для вектора переменных представленного соотношениями (13.2.5) эквивалентен агрегированный вектор (13.2.15).

Переменную y_n(t), пП_o, oO можно трактовать как агрегированный продукт, каждая единица которого приносит один рубль дохода предприятию, полученный в период tT.

Шаг 7. (Аналогичен шагу 1 блока 2, см. раздел 5.6 в [2]). В целом задачу отрасль-предприятие, представленную моделью (13.2.1)-(13.2.7), объединяя все агрегированные модели (13.2.11)-(13.2.15) можно представить в агрегированном виде: opt F_o(X_o(t))  opt F_o(Y_o(t)) ={

opt F1_o(Y_o(t))={f_vп(Y_п(t))=y_n(t), vK_n, п= _o}, (13.2.16)

opt F2_o(Y_o(t))={f_ko(Y_o(t))= (c^o_ko+c_kn y_п(t)), к= _o}}, (13.2.17)

(a^o_in+a_in y_n(t))  b_i , iM, (13.2.18)

y_n^o(t)  y_n(t) y_n*(t), п= _o, oO, (13.2.19)

где соотношение opt F_o(X_o(t))  opt F_o(Y_o(t)) показывает эквивалентность векторного критерия (13.2.1), имеющего переменную X_o(t) размерностью N_n*П _o, oO и агрегированного векторного критерия F_o(Y_o(t)), полученного из объединения (13.2.11) и имеющего переменную Y_o(t) размерностью 1*П _o, oO;

агрегированный векторный критерий F_o(Y_o(t)) состоит из двух подмножеств - первое (13.2.16) представлено от каждого предприятия одной компонентой {y_n(t), п= _o}, каждое из которых являются агрегированным ведущим критерием предприятия, - второе F2_о(Y_o(t)) = {f_ko(Y_o(t)), k= _o, K_o= K_п } - векторный отраслевой критерий, каждая компонента которого представляет сумму отдельных критериев предприятий, обладающих свойствами аддитивности, и, в частности, одним их таких критериев может быть сумма объема продаж по всем предприятиям отрасли: f_vo(Y_o(t)) = y_n(t), oO;

(13.2.18) - агрегированные ограничения по ресурсам, они эквивалентны ограничениям (13.2.4) и составлены суммированием (13.2.13);

для агрегированного вектора переменных представленного соотношениями (13.2.19) эквивалентными являются (13.2.5).

Шаг 8. (Аналогичен шагу 2 блока 2 , см. раздел 5.6 в [2]). Решается ВЗЛП (13.2.16)-(13.2.19) при равнозначных критериях.

В результате решение задачи (13.2.16)-(13.2.19) на планируемый год tT получим: точку оптимума Y_o^o(t)={y_n^o(t), п= _o} и максимальную относительную оценку ^o(t), такую, что

^o(t)=_п(y_n^o(t)), п= _o, (13.2.20)

для критерия (13.2.16), т. к. критерии независимы; и

^o(t)  _k (y_n^o(t)), k= _o, (13.2.21)

для критерия (13.2.17), т.е. ^o(t) является максимальным нижним уровнем для всех относительных оценок _k(X(t)), k= или гарантированным результатом в относительных единицах, а в соответствии с теоремой 3, точка {Y^o , ^o } оптимальна по Парето. (В обозначении Y_o^o(t) верхний индекс читается как «нулевое», в соответствии с результатом решения ВЗЛП в главах 2, 3, а нижний как «о» - отрасль).

Полученная точка оптимума Y_o^o(t)={y_n^o(t), п= _o} определяет агрегированный вид продукции, выпускаемой каждым предприятием, и соответствующие технико-экономические показатели, включенные в план.

Подставляя значения y_n^o(t ), пП_о в критерии (13.2.18) и ограничения (13.2.20) в отраслевом разрезе получим информационную модель - I^ предприятия на планируемый год tT: I^п(t)={ y_n^o(t), f_k(y_n^o(t))= c_j^k y_j^o(t), k= _п ,

G_i(y_n^o(t)), i= _o, o= , i= _tr, i= _f}, пП_o, oO. (13.2.22)

Объединяя все I^ предприятий на планируемый год tT получим агрегированную I^ отрасли:

I^о(t)={ Y_o^o(t)={y_n^o(t), п= _o}, f_k(Y_o^o(t))= c_п^k y_n^o(t), k= _o, K_o= K_п, G_i(Y_o^o(t)), i= _o, o= , i= _tr, i= _f}, oO. (13.2.23)

При решении ВЗЛП (13.2.16)- (13.2.19) на период tT лет получим развитие отрасли в динамике в виде набора I^ на каждый период планирования.