5.3.2. Нелинейная модель рынка

Методологию моделирования рынка с учетом функции спроса и предложения проведем в три этапа: постановка задачи, построение модели вида (5.3.1)-(5.3.5) и непосредственно моделирование.

Постановка задачи.

Дано. Предположим, что известны статистические данные о покупках и производстве телевизионных приемников: спрос (цена - объемы покупок), предложение (цена - объемы продаж) [26], т. е. решается задача в условиях неопределенности.

На объем производства и соответственно продаж оказывают влияние:

• производственные возможности производителей: a₁=a₂=400 - затраты на производство продукта у обоих производителей, b₁=b₂=150000 - финансовые возможности фирм при производстве продукта;

• финансовые возможности потребителей: b =100000, b =300000, lL – минимальный и максимальный объем финансовых средств, которые они может выделить на покупку продукта от разных фирм. Максимальная цена, которую в состоянии оплатить потребители, p^max=800.

Построить оптимизационную модель рынка с учетом функций спроса и предложения и рассчитать оптимальную цену, объемы спроса-предложения.

Построение модели рынка с учетом функции спроса и предложения выполним за два шага: используя статистические данные, сформируем функции спроса и предложения, на их основе построим модель вида (10.1)-(10.5).

Построим функцию спроса и предложения, проведя регрессионный анализ статистических данных с использованием пакета программ Statistica [8]. В результате расчета получим: средние значения цены и объемы реализуемого товара, а также данные регрессионного анализа, в т. ч. функции линейного спроса и предложения:

 = – 2,60с_х +1631,47,  = 2,11с_х -566,07. (5.3.17)

Эти уравнения и соответствующие параметры регрессионного анализа показаны на рис. 5.2, 5.3.

Построим модель рынка, для этого, используя исходные данные, преобразуем задачу математического программирования (5.3.1)-(5.3.5) с учетом функций рыночного спроса и предложения (5.3.7). В итоге получим векторную задачу нелинейного программирования:

opt F(X)={max f₁(X) = (p-400)x₁ + (p-400)x₂, (5.3.18)

min f₂(X) = px₁ + px₂}, (5.3.19)

при ограничениях

1468.33 2.60p +x₁+x₂ 1794.6, (5.3.20)

-622.67  -2.11p+x₁+x₂ -509.67, (5.3.21)

100000 ≤ px₁+px₂ ≤ 300000,

400x₁≤ 150000, 400x₂≤ 150000, (5.3.22)

400p 800, x₁, x₂ 0, (5.3.23)

где X={p, x₁, x₂} – вектор неизвестных, определяющий цену и конструктивные параметры рыночного спроса – потребления;

(5.3.18)-(5.3.19)– функции, определяющие цели индивидуального производителя и индивидуального потребителя;

(5.3.20) – функция спроса, в ней b^d-10%b^d=1631.47-10%*1631.47=1468.33, b^d+10%b^d=1794.6;

(5.3.21) – функция предложения: b^s-10%b^s=-566.07-10%(-566.07)=-622.67, b^s+10%b^s=-509.47.

(5.3.22) - ограничения по бюджету потребителей и производственным мощностям производителей;

(5.3.23) – ограничения, накладываемые на цену и на не отрицательность объемов произведенной и проданной продукции.

Моделирование развития рынка (в нашем примере исследование) выполним путем решения двух вариантов векторной задачи (5.3.18)-(5.3.23) с различными ограничениями: функции спроса-предложения представлены равенствами, неравенствами (5.3.20)-(5.3.23).

Результаты решения проиллюстрируем на рис. 5.3 и 5.4.

1 вариант. Решение равенств (5.3.17), т. е. определения точки равновесия спроса и предложения, представим в системе Matlab.

[q,c]=solve('q+2.60*p=1631.47','q-2.11*p=-566.07'). (5.3.24)

В результате решения получим: X_d=s={p=466.569, q = 418.39}. Эта точка представлена на рис. 5.4 в центре.

2 вариант. Для решения векторной задачи (5.3.18)-(5.3.23) используем метод, основанный на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, на каждом шаге которого применяется алгоритм решения однокритериальной задачи нелинейного программирования, представленный в системе Matlab (функция fmincon(…)).

Шаг 1,2. Решается задача (5.3.18)-(5.3.23) по каждому критерию отдельно – ищется наилучшее X , k= (К=2) и наихудшее решение X , k= .

В результате решения получим:

X ={p=513.2, x₁=230.11, x₂=230.11}, f =f₁(X )=-52107,

X ={p=419.9, x₁=188.2, x₂=188.2}, f =f₁(X )=7512;

X ={p=443.9, x₁=157.03, x₂=157.03}, f =f₂(X )=139430,

X ={p=489.2, x₁=261.3, x₂=261.3}, f =f₂(X )=255670.

Эти точки представим на рис. 5.4 точками с соответствующими координатами: X1_max={p=513.2, d=460.22}, X1_min={p=419.9, d=376.4}, X2_min={p=443.9, d=314.06}, X2_max={p=489.2, d=522.6}, где с – стоимость товара, d=x₁+x₂ - объем спроса-предложения. Область, ограниченная этими точками представляет собой область спроса-предложения.

Рис. 5.3. Функции спроса-предложения и результаты решения задачи

Результаты решения X , X получены при условии, что каждому участнику рынка (производителю и потребителю) предоставляются наиболее благоприятные условия, т. е. при оптимизации учитываются только ограничения, накладываемые на их производственную деятельность и финансовые возможности. Практически показатели X , f - это монополия для производителя, а X , f - монопсония для потребителя. Эти смоделированные показатели берем за цели, к которым стремится каждый участник рынка.

Шаг 3. Выполняется стандартная нормализация критериев и анализ результатов решения, полученных по каждому критерию.

f_k(X )= ,

_k( )= .

На этом этапе цели каждого участника р f , f по числовой величине выравниваются, в результате получим нормализованные цели  =_k(X )=1, kК, к которым должен стремиться каждый участник рынка.

Шаг 4. Построение и решение -задачи:

^o= max , (5.3.25)

 -  0, (5.3.26)

 -  0, (5.3.27)

1468.33 2.60p +x₁+x₂ 1794.6, (5.3.28)

-622.67  -2.11p+x₁+x₂ -509.67, (5.3.29)

100000≤ px₁+px₂ ≤ 300000, 400x₁≤ 150000, 400x₂≤ 150000, x₁, x₂ 0,

Рис. 5.4. Целевые функции производителя и потребителя на области спроса-предложения

В -задаче целенаправленность определяется нижним уровнем =min(_k(X), k= ), XS.  рассчитывается для всех критериев - как для производителей, так и для потребителей измеренных в относительных единицах, и в -задаче этот уровень устремляется к максимуму, который в итоге равен ^o.

В результате решения -задачи получаем точку оптимума X^o={p=477.9, x₁=202.2, x₂=202.2} см. рис. 5.3 и 5.4 и максимальную относительную оценку ^o=0.5373 см. рис. 5.4, которая является максимальным нижним уровнем для всех относительных оценок ^o=min(_k(X^o), k=1,2), т. е. гарантированным результатом в относительных единицах, который гарантирует, что в полученной оптимальной точке X^o все критерии равны или лучше ^o, т. е. выполняются условия _k(X^o)^o, k=1,2 или в общем виде: ^o ≤ _k(X^o), k= .

Действительно: f₁(X^o)=31488, f₂(X^o)=193210. ₁(X^o)=0.5376, ₂(X^o)=0.5373.

Покажем функции, определяющие цели индивидуального производителя (5.3.8) и потребителя (5.3.9) на рис. 5.4.

Область спроса-предложения X1_maxX2_minX1_minX2_max, рассмотренная на рис. 5.4, представлена четырехугольником, который искусственно опущен до = -1. Точка X^o , принадлежащая области спроса-предложения, является «седловой», в ней, во-первых, спрос равен предложению ₁(X^o)=₂(X^o)=0.5373, во-вторых, это равенство максимальное.