13. Модель рынка совершенной конкуренции

(Рассказывать в общем виде без цифр)

Построение и моделирование численной модели совершенной конкуренции покажем на основе базовой модели (5.4.6)-(5.4.10) и выполним в три этапа:

• построение численной модели совершенной конкуренции;

• решение векторной задачи, лежащей в основе модели;

• математический и графический анализ результатов решения численной модели совершенной конкуренции.

Построение численной модели совершенной конкуренции. Для совершенной конкуренции характерно то, что производственные параметры (затраты на производство продукции и стоимость продаж), как правило, у обоих производителей равны. Эти требования отразим в математической модели рынка.

Дано. Введем обозначения, уточняющие модель (5.4.6)-(5.4.10):

p₁= p₂= p₃=p₄=50 - цены на продукт; a₁= a₂= a₃=a₄=40 - затраты;

₁=₂=₃=₄=(p₁-a₁)=10 - прибыль от производства и продажи продукта;

b =3500, b =5000, l=1,2; b_q=5000, q=1,2.

Связь спроса и предложения решена следующим образом.

Спрос определяется: а) максимальной суммой, которую могут выделить потребители для своей покупки: x +x =200, где x =x = b /p₁ = b /p₂=100 единиц продукта, и ее стоимостью в p_q(x +x )=10000;

б) минимальной суммой, которую необходима для наименьшего потребления продукта, в x +x =140, где x =x = b /p₁=b /p₂=70 единиц продукта, и ее стоимостью в p_q(x +x )=7000.

Предложение вытекает из того, что каждая фирма может изготовить не более x =b_q/a_q=125, q=1,2 единиц товара или с учетом стоимости p_qx =6250. Это, с одной стороны, несколько больше, чем минимальная потребность одного потребителя, но меньше минимальной суммы потребностей обоих потребителей, т.е. 3500=b ≤ p_qx ≤ p_q(x +x )=7000,

а с другой, сумма x +x =250 и ее стоимость p_q(x +x ) превышает максимальные потребности финансовых средств, которые могут выделить на покупку продукта от разных фирм оба потребителя.

Следовательно, в модели (5.4.6)-(5.4.10) с предлагаемыми числовыми параметрами, предложение превышает спрос, хотя модель может быть использована и при других взаимоотношениях спроса и предложения.

Построить оптимизационную модель рынка и рассчитать объемы спроса-предложения.

Построение модели рынка. Математическая модель рынка с двумя производителями и двумя потребителями (модель 2*2) введенными параметрами представим в виде векторной задачи линейного программирования:

opt F(X)={max f₁(X)=10x₁ +10x₂, max f₂(X)=10x₃+10x₄, (5.4.11)

min f₃(X)=50x₁ +50x₃ , min f₄(X) =50x₂+50x₄}, (5.4.12)

при ограничениях

3500 ≤ 50x₁+50x₃ ≤ 5000, 3500 ≤ 50x₂+50x₄ ≤ 5000, (5.4.13)

40x₁+ 40x₂ ≤ 5000, 40x₃+ 40x₄ ≤ 5000, (5.4.14)

x₁, x₂, x₃, x₄  0. (5.4.15)

Для решения векторной задачи (5.4.11)-(5.4.15) используются методы, основанные на нормализации критериев и принципе гарантированного результата, представленные во третьей части.

Моделирование поведения всех производителей и потребителей с учетом их целенаправленности выполним с помощью решения векторной задачи (5.4.11)-(5.4.15) в целом, т. е. с четырьмя критериями.

Решения векторной задачи (5.4.11)-(5.4.15) при равнозначных критериях представим в виде последовательности шагов.

Шаг 1,2. Решается задача (5.4.11)-(5.4.15) по каждому критерию отдельно.

Критерий 1. max: X ={x₁=62.5, x₂=62.5, x₃=37.5, x₄=37.5},

f₁(X )=1250, f₂(X )=750, f₃(X )=5000, f₄(X )=5000,

min: X ={x₁= 7.5, x₂= 7.5, x₃= 62.5, x₄=62.5},

f₁(X )=150, f₂(X )=1250, f₃(X )=3500, f₄(X )=3500.

Критерий 2. max: X ={x₁=37.5, x₂= 37.5, x₃= 62.5, x₄= 62.5},

f₁(X )=750, f₂(X )=1250, f₃(X )=5000, f₄(X )=5000,

min: X ={x₁= 62.5, x₂=62.5, x₃= 7.5, x₄= 7.5},

f₁(X )=1250, f₂(X )=150, f₃(X )=3500, f₄(X )=3500.

Критерий 3. min: X ={x₁=35.0, x₂=50.0, x₃=35.0, x₄= 50.0},

f₁(X )=850, f₂(X )=850, f₃(X )=3500, f₄(X )=5000,

max: X ={ x₁=50.0, x₂=50.0, x₃=50.0, x₄= 50.0}.

f₁(X )=1000, f₂(X )=1000, f₃(X )=5000, f₄(X )=5000.

Критерий 4. min: X ={x₁=50.0, x₂= 35.0, x₃=50.0, x₄= 35.0}.

f₁(X )=850, f₂(X )=850, f₃(X )=5000, f₄(X )=3500,

max: X ={x₁= 50.0, x₂=50.0, x₃= 50.0, x₄= 50.0}.

f₁(X )=1000, f₂(X )=1000, f₃(X )=5000, f₄(X )=5000.

Экономическая сущность решения векторной задачи (5.4.11)-(5.4.15) на первом шаге состоит в том, что каждому участнику рынка предоставляются наиболее благоприятные условия, т. е. при расчете учитываются только их ограничения и определяются их оптимальные возможности. В результате решения получим оптимальные решения f =f_k(X ), k= - цели, к которым стремится каждый участник рынка, K=4.

Результат - оптимальные объемы продукции, которые в принципе может выпустить первый и второй производитель, и купить первый и второй потребитель.

Шаг 3. Выполняется стандартная нормализация критериев:

Анализ результатов решения, полученных по каждому критерию, выполним на основе нормализации:

_k(X )=(f_k(X )-f )/(f -f ), q, k =1,2,3,4.

₁(X )=1.0, ₂(X )=0.545, ₃(X )=0.0, ₄(X )=0.0,

₁(X )=0.545, ₂(X )=1.0, ₃(X )=0.0, ₄(X )=0.0,

₁(X )=0.632, ₂(X )=0.632, ₃(X )=1.0, ₄(X )=0.0,

₁(X )=0.632, ₂(X )=0.632, ₃(X )=0.0, ₄(X )=1.0.

Экономическая сущность решения векторной задачи (5.4.11)-(5.4.15) на втором шаге состоит в том, что цели каждого участника рынка по числовой величине выравниваются. В результате решения получаем нормализованные цели

 =_k(X )=1 (100%), kК,

к которым стремится каждый участник рынка.

Шаг 4. Построение и решение -задачи:

^o = max , (5.4.16)

при ограничениях

 - (₁x₁ + ₂x₂ - f₁(X ))/(f₁(X )-f₁(X ))  0, (5.4.17)

 - (₃x₃ + ₄x₄ - f₂(X ))/(f₂(X )-f₂(X ))  0,

 - (p₁x₁ + p₃x₃ - f₃(X ))/(f₃(X )-f₃(X ))  0,

 - (p₂x₂ + p₄x₄ - f₄(X ))/(f₄(X )-f₄(X ))  0, (5.4.18)

3500 ≤ p₁x₁ + p₃x₃ ≤ 5000, 3500 ≤ p₂x₂ + p₄x₄ ≤ 5000, (5.4.19)

a₁x₁ + a₂x₂ ≤ 5000, a₃x₃ + a₄x₄ ≤ 5000, x₁, x₂, x₃, x₄  0. (5.4.20)

Экономическая сущность решения -задачи (5.4.16)-(5.4.20) состоит в том, что -задача устремляет критерии (относительные оценки) всех четырех участников рынка к своему оптимуму  =1, k= .

Решение -задачи (5.4.16)-(5.4.20).

Результат решения при равнозначных критериях:

^o = 0.60714. X^o ={x₁= 40.893, x₂= 40.893, x₃= 40.893, x₄= 40.893}. f₁(X^o) = 163.572, f₂(X^o) =163.572, f₃(X^o) = 817.858, f₄(X^o) = 817.858,

₁(X^o)=0.60714, ₂(X^o)=0.60714, ₃(X^o)=0.60714, ₄(X^o) =0.60714.

Выполняются условия ^o ≤ _q(X^o), q=1,2,3,4, а в соответствии с теоремой 2 все критерии противоречивы. Любое улучшение (увеличение) одного из них приводит к ухудшению другого.

Конец

Математический и графический анализ модели совершенной конкуренции. Для оценки модели совершенной конкуренции введем некоторые преобразования: объем продукции, произведенной первым производителем, обозначим как X₁=x₁+x₂, а вторым как X₂=x₃+x₄. Отсюда ограничения (5.4.13)-(5.4.14) примут вид: 3500≤25Х₁+25Х₂≤5000, 3500≤25Х₁+ 25Х₂ ≤5000. 40Х₁≤5000, 40Х₂ ≤5000. Покажем их в системе Matlab на рис. 5.5.

Рис.5.5. Ограничения и точки оптимума в модели совершенной конкуренции

На рис. 5.5 представлены:

X1max, Х1min, X2max, Х2min – точки оптимума (наилучшее и наихудшее значение), полученные по первому и второму критерию соответственно;

Хо - точка оптимума, полученная при (четырех) равнозначных критериях, т. е. с учетом всех производителей и потребителей;

Xор21, Xор12 - точки оптимума, полученные при приоритете второго критерия над первым и первого над вторым соответственно;

Хоо - точка оптимума, полученная только при двух равнозначных критериях (т. е. с учетом только производителей);

Xоор21, Xоор12 - точки оптимума, полученные при приоритете второго критерия (производителя) над первым и первого над вторым соответственно.

Покажем эту область ограничений на трех мерном графике - рис. 5.6, где в качестве третьей координаты представим ось  - относительные оценки.

Рис. 5.6. Целевые функции в модели совершенной конкуренции на области ограничений

На этом рис. представим три функции (в относительных единицах), определяющие цели:

во-первых, индивидуальных производителей:

₁(X) = , ₂(X) = ,

где f₁(X)=10Х₁, f₂(X)=10Х₂- текущее значение 1,2-го критерия в допустимых точках, т. е. XS; f =1250 - величина k-го критерия в точке оптимума X , k=1,2; f =150 - наихудшая величина k-го критерия в точке X , k=1,2;

во-вторых, потребителей:

₃(X) = ,

где f₃(X)=25Х₁+25Х₂ - текущее значение 3-го критерия в точках XS; f =3500 - величина k-го критерия в точке оптимума X , k=3; f =5000 - наихудшая величина k-го критерия в точке X , k=3;

На рис. 5.6 область ограничений, как и на рис. 5.5, представлена точками X1_maxX2_minX1_minX2_max, образующих четырехугольник, который искусственно опущен до = -3, (чтобы был виден). На нем также показаны точки X^o и X^oo.

Точка оптимума X^o отражает целенаправленность производителей и потребителей продукции (в виде соответствующих функций) в совокупности. Она является седловой, в ней: