Основні теоретичні відомості та вказівки

Якщо функція в точці має похідну , то добуток цієї похідної на приріст аргументу називається диференціалом функції та позначається . Таким чином: .

,

З : ,

Геометричний зміст диференціала: якщо функція має похідну в точці , то диференціал функції в цій точці дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою , при переході від точки дотику в точку з абсцисою .

Застосування диференціала до наближених обчислень:

1. Обчислення наближеного значення приросту функції:

2. Наближене обчислення степенів: .

3. Наближене значення коренів: .

4. Наближене значення тригонометричних функцій:

.

5. Наближене значення логарифмічних функцій: .

Рівняння дотичної до кривої L в точці :

Рівняння нормалі до кривої L в точці :

Завдання

8 .1. Обчислити наближене значення:

а)

б)

в)

г)

8.2. Знайти наближене значення приросту функції:

а) при та

б ) в точці

8.3. Знайти наближене значення степеню:

а)

б)

8.4. Скласти рівняння дотичної до графіка функції в точці .

8 .5. Скласти рівняння нормалі до графіка функції в точці .

8.6. Залежність шляху від часу при прямолінійному русі задані рівняннями ; . В який момент часу їх швидкості будуть однаковими?

8.7. Визначити наближено похибку обчислення площі квадрата, якщо при вимірюванні довжини сторони в 60 м припущена похибка 0,2 м.

8 .8. Якими повинні бути сторони прямокутника, периметр якого дорівнює 80 см, щоб його площа була найбільшою?

8.9 . Знайти наближене значення приросту функції при зміні аргументу від 3 до 2,998.

8.10 . Об’єм куба, ребро якого дорівнює 40 см, при нагрівання збільшився на 0,05 свого початкового значення. Знайти видовження ребра куба.

8 .11 . З квадратного листа заліза зі стороною 1,5 м треба виготовити бак (див. мал. ) з квадратною основою без кришки найбільшого об’єму.

8 .12 . Нехай електрична лампочка переміщується вздовж вертикальної прямої ОВ (див. мал.). На якій відстані від горизонтальної площини слід її розмістити, щоб в точці А цієї площини освітленість була найбільшою. .

8.13 . Посудина з вертикальною стінкою і висотою стоїть на горизонтальній площині (див. мал. ). На якій глибині слід розмістити отвір, щоб дальність вильоту води з отвору була найбільшою (швидкість рідини, що витікає за законом Торрічеллі, дорівнює , де глибина розміщення отвору, прискорення вільного падіння).