Правило знаходження загального розв’язку:

1. розділити змінні;

2. про інтегрувати обидві частини рівняння по та відповідно;

3. виразити через .

Лінійні однорідні диференціальні рівняння.

Означення: Диференціальні рівняння виду , де та задані функції, називаються лінійними диференціальними рівняннями.

Якщо , то лінійне диференціальне рівняння називається однорідним. Воно має вид (3)

Р івняння (3) є рівнянням з відокремлюваними змінними. Тобто загальний розв’язок диференціального рівняння (3) задається формулою: .

Якщо та , то рівняння називається неоднорідним. Загальний розв’язок такого диференціального рівняння дорівнює сумі загального розв’язку відповідного лінійного однорідного рівняння та частинного розв’язку даного рівняння: .

Для лінійного рівняння виду , де та деякі числа ( ), розв’язок знаходиться за формулою .

Завдання

11.1. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння:

а)

б)

в )

г)

11.2. Знайти інтегральну криву функції , яка проходить через точку .

11.3. Розв’язати рівняння з відокремлюваними змінними:

а)

б)

11.4. Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння:

а) , яке задовольняє початковим умовам .

б ) , яке задовольняє початковим умовам .

11.5 . Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння:

а)

б)

в )

г)

11.6 . Знайти інтегральну криву, яка проходить через задану точку , якщо , , при .

1 1.7 . Знайти частинний розв'язок диференціального рівняння , яке задовольняє початкову умову при .

1 1.8 . Складіть диференціальне рівняння, що відповідає руху точки Р з масою m, на яку діє сила пружності F з боку пружини, як показано на малюнку.

11.9 . Розв’яжіть рівняння , яке описує вільне падіння матеріальної точки та знайдіть розв'язок цього рівняння, який задовольняє умовам , .

Питання для самоконтролю

1. Дайте визначення диференціального рівняння.

2. Що таке порядок диференціального рівняння?

3. Що називається розв’язком диференціального рівняння?

4. Що таке загальний розв'язок диференціального рівняння?

5. Що таке частинний розв'язок диференціального рівняння?

6. Дайте визначення диференціального рівняння з відокремлюваними змінними.

7. Сформулюйте правило знаходження загального розв'язку диференціального рівняння з відокремлюваними змінними.

Висновок:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оцінка______________ Підпис викладача______________