Степеневі ряди:

Ряд виду називається степеневим.

Функція називається сумою степеневого ряду.

Теорема Абеля: Якщо степеневий ряд збігається в точці , то він збігається абсолютно в будь-якій точці з кола . Якщо ж цей ряд розбігається в точці , то він розбігається в будь-якій точці , для якої .

З теореми Абеля випливає, що для степеневого ряда можливі три ситуації:

1) ряд збігається лише в точці ;

2) ряд збігається в усіх точках ;

3) існує число таке, що для всіх з кола ряд збігається, а для всіх , , ряд розбігається.

Число називається радіусом збіжності степеневого ряду. Якщо ряд збігається лише в точці , то . Якщо ряд збігається в усіх точках , то .

М ножина всіх точок , які задовольняють нерівності , де радіус збіжності ряда, називається колом збіжності степеневого ряду.

Теорема 2: Якщо у степеневого ряда (1) послідовність має скін кінчену чи нескінчену границю, то для радіуса збіжності справедлива формула:

.

Розклад функції за формулою Тейлора:

Якщо функція неперервна та має у похідну , то формула

,

де

називається формулою Тейлора функції в точці з залишковим членом в інтегральній формі.

Нехай функція має на інтервалі неперервну похідну го порядку. Тоді, якщо існують числа та неперервна функція такі, що

(*)

для будь-якого , то , .

Тобто права частина формули (*) є розкладанням функції за формулою Тейлора в точці до го порядку.

Ряд Тейлора:

Нехай функція визначена та має похідні всіх порядків в деякому околі точки . Тоді степеневий ряд називається рядом Тейлора функції в точці .

Л ема: Для того, щоб ряд Тейлора збігався до функції в точці , необхідно і достатньо, щоб в цій точці остаток формули Тейлора прямував до нуля при .

Теорема 1: Ряд Тейлора функції для будь-якого збігається до , тобто: для всіх .

Теорема 2: Ряд Тейлора функції для будь-якого збігається до , тобто: для всіх .

Теорема 3: Ряд Тейлора функції для будь-якого збігається до , тобто: для всіх .

Теорема 4: Ряд Тейлора функції для будь-якого збігається до , тобто: для всіх .

Теорема 5: Ряд Тейлора функції для будь-якого збігається до , тобто: для всіх .

Завдання

12.1. Записати перші п’ять членів послідовності, якщо її й член має вид:

а)

б)

в )

12.2. Знайти загальний член ряду:

а)

б)

12.3. Знайти суму ряду .

12.4. Використовуючи означення часткових сум ряду довести, що ряд збіжний та знайти його суму.

12.5 . Знайти перші чотири члени ряду та перевірити необхідну умову збіжності ряду.

12.6 . Дослідити ряд на збіжність, користуючись ознакою Даламбера:

а )

б)

12.7 . Користуючись ознакою Лейбніца, дослідити на збіжність знакозмінний ряд

12.8 . Дослідити на збіжність ряд з використанням ознаки Коші.

12.9 . Дослідити на збіжність ряд за допомогою ознаки порівняння.

12.10 . Обчислити визначений інтеграл з точністю до 0,001, розклавши підінтегральну функцію в ряд Тейлора та про інтегрувавши почленно .

12.11 . Розкласти в ряд Тейлора функцію .

12.12 . Використовуючи ряд Маклорена для функції, виразити величину у вигляді збіжного ряду. Знайти наближене значення цієї величини, обмежуючись двома першими членами ряду.