Основні теоретичні відомості та вказівки
Означення:
Первісною для даної функції
на заданому проміжку
називається така функція
,
похідна якої для всіх
дорівнює
.
Тобто:
.
О
значення:
Якщо
первісна
функції
,
то вираз
називається невизначеним
інтегралом від
функції
і позначається символом:
.
Властивості невизначеного інтегралу:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Таблиця невизначених інтегралів елементарних функцій:
1)
,
.
2)
.
3)
,
.
4)
.
5)
,
.
6)
.
7)
.
8)
.
9
)
.
10)
.
11)
,
.
12)
,
.
13)
,
.
14)
,
.
15)
,
.
Властивості визначеного інтегралу:
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5
)
Якщо на відрізку
функції
та
інтегруються, та
,
то справедлива нерівність
.
Теорема:
Якщо функція
неперервна на відрізку
,
а функція
є первісною для
на цьому відрізку, то справедлива
формула:
формула
Ньютона – Лейбніца.
Геометричний
зміст визначеного інтегралу
для неперервної невід’ємної функції
полягає в тому, що інтеграл
дорівнює площі криволінійної трапеції,
яка визначається функцією
,
.
Означення:
Подвійна сума
називається інтегральною
сумою
функції
.
Означення:
Якщо границя інтегральної суми при
існує та не залежить від вибору точок
,
то вона називається подвійним
інтегралом
від функції
по області
та позначається
.
Властивості:
1.
.
2.
.
Зведення подвійного інтегралу до повторного:
Якщо функція задана в області
Я кщо функція задана в області , яка утворюється перетином кривих
та
(причому
обмежує область зверху, а
− знизу)
Завдання
10.1. Обчислити невизначений інтеграл:
а)
б)
в)
г)
1 0.2. Обчислити визначений інтеграл:
а)
б)
в)
10.3. Обчислити площу фігури, обмежену лініями:
а)
,
б)
,
10.4.
Швидкість точки задана рівнянням
(м/с). Обчислити, який шлях (в метрах)
пройшла точка від початку руху до повної
зупинки.
10.5. Обчислити роботу, яку необхідно виконати при розтягу пружини на 6 см, якщо для її розтягу на 3 см необхідно прикласти силу у 15 Н.
10.6.
Обчислити подвійний інтеграл функції
по області
,
.
1 0.7 . Обчислити невизначений інтеграл:
а)
б)
10.8 . Обчислити визначений інтеграл:
а)
б)
10.9 . Обчислити площу фігури, обмежену лініями:
а)
,
б)
,
.
10.10 . Обчислити роботу при стисненні пружини на 3 дм, якщо для її стиснення на 2 см була виконана робота 30 Дж.
10.11
.
Обчислити подвійний інтеграл функції
по області
,
яка обмежена лініями
,
,
.
10.12
.
Знайти об’єм тіла обмеженого площинами
,
,
та поверхнею
.
10.13 . Обчислити площу фігури обмежену лініями:
а)
,
.
б
)
,
.
10.14 . Обчислити силу тиску води на вертикальну пластину, яка має форму трикутника з основою 2 м та висотою 3 м, вершина трикутника знаходиться на поверхні води, а основа паралельна їй.