Практичне заняття № 4

Тема: Елементи векторної алгебри.

Мета: Удосконалити вміння та навички виконання дій над векторами, розв’язувати задачі прикладного характеру із застосуванням скалярного, векторного та мішаного добутків векторів.

Література:

1. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для ВУЗов. – 4-е изд. – М.: Высш. школа, 1998., стр. 223-241.

2. Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища матемактика. Загальний курс: Збірник задач та вправ. 2-е вид. – Х.: Рубікон, 1999., ст. 8-14.

3. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика: практикум. – К.: ЦУЛ, 2003., ст. 86-96.

4. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: збірник задач. – К.: А.С.К., 2004., ст. 32-39, 50-65.

При виконанні практичної роботи учень повинен

знати: означення вектора, його координат та абсолютної величини; дії над векторами; поняття колінеарності та компланарності векторів; умову перпендикулярності векторів; формули обчислення скалярного, векторного та мішаного добутків векторів;

вміти: знаходити координати та абсолютну величину вектора; виконувати дії над векторами; визначати колінеарність, перпендикулярність та компланарність векторів; будувати вектори в системі координат; застосовувати дії з векторами до розв’язання прикладних задач.

Основні теоретичні відомості та вказівки

Вектором називається направлений відрізок.

Нехай заданий вектор . Тоді його абсолютна величина обчислюється за формулою: .

Нехай задані точки та . Тоді абсолютна величина вектора обчислюється за формулою:

.

В ектор, абсолютна величина (або модуль) якого дорівнює нулю, називається нульовим вектором.

Кожний ненульовий вектор визначається довжиною та напрямком.

Дії над векторами:

Сумою векторів та називається вектор з координатами: .

Різницею векторів та називається вектор з координатами: .

Добутком вектора на число називається вектор .

Скалярним добутком векторів та називається число або .

Два ненульових вектори, напрямки яких співпадають або протилежні, називаються колінеарними.

Теорема (ознака колінеарності): Для того, щоб ненульові вектори та були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб існувало деяке число , яке задовольняє умові .

Кутом між двома ненульовими векторами називається кут між напрямками цих векторів. Якщо кут між векторами та дорівнює 90^о, то ці вектори називаються ортогональними (перпендикулярними).

Теорема: Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.

За визначенням скалярного добутку: . Звідси:

.

Вектори називаються компланарними, якщо кожний з них паралельний одній і тій же площині. Будь-які два вектори завжди компланарні.

Т ри некомпланарних вектора , та , взятих у вказаному порядку, утворюють праву трійку, якщо після зведення їх до спільного початку вектор розташований по ту сторону від площини, яка містить вектори та , звідки здається відбувається менший поворот від до проти годинникової стрілки. В противному випадку, трійка векторів називається лівою.

Векторним добутком вектора на не колінеарний йому вектор називається такий вектор , який задовольняє наступним трьом умовам:

1) довжина вектора ;

2) вектор перпендикулярний векторам та ;

3) вектори , та у вказаному порядку утворюють праву трійку.

Якщо вектори та задані своїми координатами, то:

.

Мішаним добутком трьох векторів називається число, рівне скалярному добутку вектора на вектор .

Теорема: Мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори компланарні.

Мішаний добуток трьох векторів дорівнює визначнику третього порядку, який складається з координат векторів, записаних в певному порядку:

.