П итання для самоконтролю

1. Що називається диференціалом функції?

2. За яким правилом знаходять диференціал функції?

3. Дайте геометричне тлумачення диференціалу функції.

4. Як застосовується диференціал функції в наближених обчисленнях?

5. Яка пряма називається дотичною до кривої?

6. Яка пряма називається нормаллю до кривої?

7. Запишіть рівняння дотичної та нормалі до кривої.

8. Як знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку?

Висновок:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оцінка______________ Підпис викладача______________

Практичне заняття № 9

Тема: Диференціальне числення функції багатьох змінних.

Мета: Формувати вміння досліджувати функцію багатьох змінних на неперервність, знаходити частинні похідні та екстремуми функції.

Література:

1. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: збірник задач. – К.: А.С.К., 2004., ст. 284-300, 320-324.

2. Казановський В.І., Африканова А.Г. Вища математика: конспект лекцій, 2003., ст. 103-110.

3. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика: практикум. – К.: ЦУЛ, 2003., ст. 218-214, 216-225.

4. Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища матемактика. Загальний курс: Збірник задач та вправ. 2-е вид. – Х.: Рубікон, 1999., ст. 99-109.

При виконанні практичної роботи учень повинен

знати: означення функції багатьох змінних, способи її задання; поняття частинних похідних першого та другого порядку; поняття повного диференціалу; умову неперервності функції багатьох змінних; необхідні і достатні умови існування екстремуму функції багатьох змінних.

вміти: знаходити частинні похідні першого та другого порядку функції багатьох змінних; складати повний диференціал; досліджувати функцію багатьох змінних на неперервність: досліджувати функцію багатьох змінних на екстремум.

Основні теоретичні відомості та вказівки

Означення: Функція , , називається неперервною на множині , якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Твердження 1: Сума та добуток двох неперервних на множині функцій є неперервними на функціями.

Т вердження 2: Відношення двох неперервних на множині функцій є неперервною функцією у всіх точках множини , в яких знаменник не обертається в нуль.

Якщо = , то функція неперервна на всій її області визначення.

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Говорять, що функція має в точці максимум (мінімум), якщо ( ) для всіх точок , достатньо близьких до точки .

Точка – точка максимуму (мінімуму), а – відповідно максимум (мінімум) функції.

Теорема 1 (необхідні умови існування екстремуму): Якщо функція має екстремум у точці , то її частинні похідні першого порядку в цій точці дорівнюють нулю. Тобто: і .

Точки , у яких частинні похідні дорівнюють нулю, називаються критичними.

Теорема 2 (достатні умови існування екстремуму): Нехай функція неперервна на всій області визначення разом зі своїми частинними похідними першого і другого порядку і точка є критичною.

Знайдемо в точці похідні другого порядку і зробимо такі позначення:

, , .

Я кщо , то функція має в точці екстремум: максимум при і мінімум при .

Якщо , то функція в точці не має екстремуму.

Якщо , то висновок про екстремум функції зробити неможливо. У цьому випадку необхідні додаткові дослідження.