Основні теоретичні відомості та вказівки
Число,
квадрат якого дорівнює −1, називається
уявною
одиницею
і позначається літерою “
”
(від лат. “imaginaries”
– уявний).
.
− алгебраїчна
форма комплексного числа, де
довільні
дійсні числа, а
уявна
одиниця.
Дії над комплексними числами, записаними в алгебраїчній формі.
Сумою
двох
комплексних чисел
та
називається комплексне число виду
.
Різницею
двох
комплексних чисел
та
називається комплексне число виду
.
Д
обутком
двох
комплексних чисел
та
називається комплексне число виду
.
Часткою
двох
комплексних чисел
та
називається комплексне число виду
.
Піднесення комплексного числа до степеня:
…
Добування квадратного кореня з від’ємних чисел.
Існує
тільки два значення квадратного кореня
з −1, а саме:
.
Тобто:
.
Комплексне
число
на площині зображується вектором з
початком в точці (0;0). По вісі Ох
відкладається дійсна частина комплексного
числа, а по вісі Оу – коефіцієнт уявної
частини.
Модулем
комплексного числа
називається
значення
.
Числове
значення кута
,
виміряного в радіанах, називається
аргументом
комплексного числа.
Значення
аргументу взяте в межах від 0 до 2
називається головним.
Головне значення аргументу
комплексного числа
можна визначити з рівності
.
− тригонометрична
форма
комплексного числа.
Дії над комплексними числами, записаними в тригонометричній формі.
Нехай
задані два комплексних числа:
та
.
1
)
− під час множення модулі множаться, а
аргументи додаються;
2)
− під час ділення модулі діляться, а
аргументи віднімаються;
3)
− при піднесенні до степеня модулі
підноситься до степеня, а аргумент
множиться на показник степеня. Ця формула
називається формулою
Муавра;
4)
− добування n-го
кореня з комплексного числа, де
.
Зображення
комплексного числа у вигляді
називається показниковою
формою запису комплексного числа.
Дії над комплексними числами, записаними в показниковій формі.
Нехай
задані два комплексних числа:
та
.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Завдання
2.1. Виконати дії:
а)
б)
2.2. Піднести до степеню:
а)
б)
2.3. Записати комплексне число в тригонометричній формі:
а)
б)
2 .4. Виконати множення та ділення комплексних чисел, заданих в тригонометричній формі:
а)
,
б)
,
2.5. Представити комплексне число в алгебраїчній формі:
а)
б)
2.6. Виконати дії над комплексним числом записаним в показниковій формі:
2.7.
Перевести задане комплексне число в
тригонометричну та алгебраїчну форми:
.
2.8
.
Розв’язати рівняння:
.
2 .9 . Виконати додавання і віднімання комплексних чисел в геометричній формі:
а)
б)
2
.10
.
Виконати дії:
2.11
.
Виконати дії та результат записати в
показниковій формі:
2.12
.
Розв’язати рівняння:
2.13
.
Знайти всі значення кореня
2.14
.
Виконати дії:
