5. Геометрические характеристики

ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

5.1 Краткие сведения из теории. Основные определения и формулы

При нахождении центров тяжести плоских фигур встречаются интегралы следующего вида (рисунок 5.1):

; . (5.1)

Эти величины носят название статических моментов относительно осей z и у соответственно. Однако, термин «центр тяжести» в отношении плоской фигуры нужно понимать условно. Это понятие приобретает реальный смысл, если представить себе, что фигура вырезана из тонкого листа постоянной толщины и находится в однородном силовом поле. В этом случае равнодействующая окажется приложенной в центре тяжести, то есть в точке с координатами z_с и у_с, которые определяются по формулам:

; . (5.2)

Размерность статических моментов - длина в третьей степени.

Рисунок 5.1

Отметим, что если , то ось z проходит через центр тяжести. Если и , то начало координат совпадает с центром тяжести. Отсюда вытекает определение: оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются центральными осями.

Если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести лежит на оси симметрии.

Интегралы

, , (5.3)

называются осевыми моментами инерции относительно осей z и у соответственно. Размерность их - длина в четвертой степени. Отметим, что осевые моменты инерции всегда положительны.

Интеграл

, (5.4)

называется центробежным моментом инерции.

Из двух осевых моментов инерции J_z и J_y можно построить новый момент инерции. Действительно, (рисунок 5.1)

. (5.5)

Величина J_p - называется полярным моментом инерции. Определение полярного момента инерции ничем не связано с осями координат, а зависит только от положения точки О. Таким образом, доказана теорема о том, что сумма осевых моментов инерции относительно любой пары перпендикулярных осей, проходящих через заданную точку, есть величина постоянная.

5.2 Преобразование моментов инерции при параллельном

переносе и при повороте осей

Предположим, что известны моменты инерции относительно осей zОу, проходящих через центр тяжести фигуры. Заданы новые оси z₁О₁у₁ параллельные осям zОу. Обозначим через а и b абсциссу и ординату точки 0 (центра тяжести фигуры), то есть координаты старого начала, относительно новых осей (рисунок 5.2). Тогда моменты инерции относительно новых осей определяются по формулам:

. (5.6)

Рисунок 5.2

Пусть моменты инерции относительно осей zОу известны. Моменты инерции относительно новых осей z₁О₁у₁, повернутых относительно первоначальных на угол (рисунок 5.3), определяются по формулам:

. (5.7)

Рисунок 5.3