7.2 Использование теории при построении эпюр для балок

Балками называются прямолинейные стержни, работающие на изгиб.

Плоским изгибом называется такой изгиб балки, при котором все силы лежат в одной плоскости. При расчете балку, как правило, заменяют осью, и все нагрузки приводятся к этой оси.

При построении эпюр поперечной силы и изгибающего момента необходимо исходить только из определения этих сил.

Поперечной силой (Q) называется сумма проекций на ось всех сил, приложенных слева от сечения или справа от сечения, но с обратным знаком.

Изгибающим моментом (М) называется момент относительно оси, параллельной поперечной оси и проходящей через центр тяжести сечения, приложенных слева или справа от сечения, но взятых с противоположным знаком.

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью нагрузки существуют следующие дифференциальные зависимости:

(7.1)

Для построения эпюр следует руководствоваться правилами их построения:

- поперечная сила претерпевает разрыв только в точке приложения сосредоточенной силы на величину этой силы;

- на незагруженном участке поперечная сила постоянна;

- на равномерно - загруженном участке поперечная сила есть линейная функция;

- изгибающий момент претерпевает разрыв только в точке приложения сосредоточенного момента на величину этого момента;

- на незагруженных участках эпюра изгибающего момента есть прямая, наклон которой пропорционален поперечной силе;

- эпюра изгибающего момента образует изломы только там, где поперечная сила претерпевает разрыв, то есть в точках приложения сосредоточенных сил; изгибающий момент, в точках, где поперечная сила равна нулю, принимает экстремальное значение;

- на равномерно-загруженном участке эпюра изгибающих моментов есть парабола. Если эпюра строится на растянутых волокнах, то выпуклость параболы должна быть направлена туда, куда направлена нагрузка.

Точками, в которых необходимо знать значение поперечной силы, являются границы участков, а для изгибающего момента, кроме границ участков еще и сечения, в которых поперечная сила равна нулю.

При обращении поперечной силы на некотором участке в нуль, для нахождения расстояния от левого конца участка для этого сечения нужно численное значение поперечной силы на левом конце участка разделить на интенсивность (величину) нагрузки; аналогично, для определения расстояния от правого конца участка.

При построении эпюр приняты следующие правила знаков:

Поперечная сила Q в сечении положительна, если ее векторы стремятся вращать части рассеченной балки по часовой стрелке.

Изгибающий момент М в сечении положителен, если он вызывает растяжение нижних волокон.

7.3 Краткие теоретические сведения. Основные формулы при расчетах на прочность

Для надежной работы различных элементов конструкций, испытывающих изгиб, необходимо соблюдение условий прочности и жесткости.

Очевидно, что материал не в состоянии выдерживать бесконечную нагрузку и бесконечно большие напряжения. Поэтому, величины наибольших напряжений, исходя, из условий надежности работы детали, должны быть ограничены предельными значениями, которые называются допускаемыми нормальными и касательными напряжениями и обозначаются и .

На практике встречаются три вида расчетов:

- по известной нагрузке подбираются необходимые размеры поперечного сечения детали - проектировочный расчет (задачи 1-го вида);

- по известным материалу и размерам конструкции, необходимо выяснить выдержит ли деталь, заданную нагрузку – проверочный расчет (задачи 2-го вида);

- по известным материалу, размерам и схеме нагружения требуется найти допустимую величину нагрузки – расчет на грузоподъемность (задачи 3-го вида).

7.3.1 Задачи 1-го вида.

По известным нагрузкам подобрать размеры поперечного сечения - (проектировочный расчет).

Порядок решения задачи:

По эпюрам поперечных сил и изгибающих моментов определить опасное сечение, где изгибающий момент достигает максимума и сечение, в котором .

Провести расчет на основе двух условий прочности:

- по нормальным напряжениям:

. (7.2)

в этом случае, размеры поперечного сечения определяются по формуле:

(7.3)

- по касательным напряжениям (проверочный расчет):

. (7.4)

Сделать дополнительную проверку прочности подобранного профиля по 4-й или 5-й гипотезам прочности в зависимости от материала:

- балки из эластичных материалов , (7.5)

- балки из хрупких материалов . (7.6)

7.3.2 Задачи 2-го вида.

По заданным размерам сечений и проверить может ли деталь выдержать приложенную нагрузку - (проверочный расчет).

Порядок выполнения проверочного расчета:

Определить положение опасного сечения с и , а также сечений, в которых М и Q достигают достаточно больших значений.

Найти максимальную величину нормального напряжения в опасном сечении и сравнить с допускаемым, .

Сравнить экстремальное значение касательного напряжения с допускаемым, .

Определить эквивалентное напряжение и сравнить с допускаемым напряжением .

7.3.3 Задачи 3-го вида.

Найти допускаемую нагрузку по известным размерам и схеме нагружений.

Порядок определения грузоподъемности балки:

Находятся все расчетные сечения, как в задаче 2-го вида, в том числе опасное с .

Определяются , и по условиям прочности по нормальным напряжениям.

Вычисляются , и из условия прочности по касательным напряжениям.

Определяются , и из условия прочности по 4-й или 5-й теориям прочности.

Предельная грузоподъемность данной конструкции оценивается минимальными значениями экстремумов , и , найденными в предыдущих пунктах.