Пример выполнения расчет6но-проектирововчной работы «Устойчивость центрально-сжатых стержней»
Вычислить размеры поперечного сечения стержня. Схема закрепления и форма сечения представлены на рисунке 8.3.
Длина
стойки
,
нагрузка
,
материал – сталь Ст.3,
предел текучести
,
предел пропорциональности
,
допускаемое напряжение на сжатие
,
модуль упругости
.
Рисунок 8.3
1)
Определим коэффициент приведенной
длины по заданной расчетной схеме, так
как стержень имеет шарнирное закрепление
с обеих сторон, то
=1
(рисунок 8.2).
2) Выведем формулы, которые необходимы для расчета геометрических характеристик стержня в зависимости от искомых параметров:
- Площадь поперечного сечения равностороннего треугольника
,
где
- высота треугольника.
- Минимальное значение момента инерции данного треугольника
;
.
Из двух значений необходимо выбрать минимальный момент инерции, но в данном случае так как сечением стойки является равносторонний треугольник, оба момента инерции одинаковы и соответственно можно выбрать любой из них, пусть это будет Jx..
Найдем радиус инерции относительно главной оси сечения (ось х)
3) Подберем размеры проектируемого сечения методом последовательных приближений с использованием приложения Е.
Начальным
значением коэффициента продольного
изгиба
(в первом приближении), в этом случае
площадь сечения из условия устойчивости
определяется по формуле:
.
Из выражения для определения площади равностороннего треугольника найдем величину b
.
Далее необходимо определить радиус инерции треугольника
Гибкость стержня может быть вычислена по следующей формуле
По
приложению Е необходимо определить
значение коэффициента
с использованием линейной интерполяции.
Коэффициент
находится в пределах между
при
и
при
.
Для облегчения расчета можно воспользоваться
следующей схемой:
|
|
130
136,986
140 |
0,4
0,36 |
,
где 10=140-130 – в данном случае это величина будет постоянной на всем протяжении расчета;
6,986=136,986-130.
Так как разница между коэффициентами и является довольно существенной, то нужно выполнить второе приближение при
.
Далее весь расчет повторяется заново.
Определяем площадь поперечного сечения стержня
.
Величина
будет равна
.
Радиус инерции
Гибкость стойки вычисляется по формуле
По
таблице значений коэффициентов
продольного изгиба и гибкости определим
|
|
120
127,659
130 |
0,45
0,4 |
.
Расхождение
между
и
превышает допустимую норму. В связи с
этим мы вынуждены выполнить третье
приближение при
.
Площадь сечения стойки будет равна
.
Размер
будет равен
.
Далее определяем радиус инерции
Гибкость стержня, как и выше, находится по формуле
Аналогично
ранее сделанным приближениям, по
приложению Е определим коэффициент
|
|
120
125,523
130 |
0,45
0,4 |
.
Разница
между исходным
и действительным
коэффициентами составляет
поэтому приближения можно считать законченными (допускаемое расхождение до 5%).
Далее необходимо произвести проверку подобранных размеров поперечного сечения стойки.
4)
Вычислим критическое напряжение
по результатам последнего (3-го) приближения
в зависимости от значения фактической
гибкости
.
- По формуле Эйлера (для стержней большой гибкости)
.
5) Определяем критическую силу
.
6)
Находим допускаемую нагрузку, для
оценки возможного перенапряжения или
недонапряжения рассматриваемого
несущего элемента конструкции (
)
.
7)
Определяем расчетный коэффициент запаса
устойчивости
.
Таким образом, мы подобрали поперечное сечение стойки в виде равностороннего треугольника со стороной 0,117м.