2.2 Постановка задачи № 2
Определение реакций опор и усилий в стержнях плоской фермы (рисунок 2.5, а, б)
Исходные данные: Р1, Р2, а и номера 3-х стержней для определения усилий методом сечений (на усмотрение студента).
Таблица 2.1 – Исходные данные для решения задачи № 2
Вели-чины |
Варианты |
||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
б |
|
Р1, кН |
4 |
10 |
2 |
10 |
2 |
3 |
4 |
5 |
10 |
3 |
а |
Р2, кН |
9 |
3 |
12 |
10 |
4 |
7 |
6 |
7 |
8 |
4 |
б |
а, м |
5,0 |
2,5 |
6,0 |
3,5 |
6,5 |
2,0 |
4,5 |
3,0 |
5,5 |
4,0 |
б |
Рисунок 2.5, а
Рисунок 2.5, б
2.3 Пример выполнения расчетно-графической работы «Определение реакций опор и усилий в стержнях плоской фермы»
1) Определение реакций опор. Рассмотрим равновесие всей фермы. На нее действуют активные (задаваемые) силы, то есть Р1=5кН, Р2=10кН и реакции опор в точках А и В (рисунок 2.6), (вертикальные реакции обозначаются через R, а горизонтальные через Н с обозначением узла в котором они возникают, например НА или RA) образуя произвольную плоскую систему сил (рисунок 2.7), силы взаимодействия между шарнирами и стержнями являются внутренними и в условия равновесия не войдут.
Рисунок 2.6 Рисунок 2.7
2) Составим три условия равновесия:
3) Определяем высоту фермы h используя следующее выражение:
4) Найдем реакции опор представленной фермы используя выше составленные три уравнения равновесия:
Знак «+» говорит о том, что реакция направлена так, как указано на чертеже, знак «-» - о том, что реакция направлена в противоположную сторону от первоначального положения.
5) Определим усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов. Так как на узел действует система сходящихся сил, для которой можно составить два условия равновесия, вырезать узлы нужно в том порядке, который указан на рисунке 2.7.
- Вырезание узлов начинаем с цифры I, на узел действует система сходящихся сил (рисунок 2.8):
Рисунок 2.8
Реакции стержней будем направлять от узла, то есть будем считать стержень растянутым. Если ответ получается с отрицательным знаком, то это означает, что стрежень работает на сжатие.
Из составленной системы уравнений получим:
(стержень
1 растянут);
(стержень
2 сжат).
-
Узел II
Рисунок 2.9
Из второго и первого уравнений представленной системы, определим значения S3 и S4:
(стержень
сжат);
,
(стержень растянут).
- Узел III
Рисунок 2.10
Полученные уравнения системы дают возможность определить усилия в стержнях S5 и S6:
(стержень
растянут);
(стержень сжат).
- Узел IV
Рисунок 2.11
Из представленных уравнений системы, в частности из второго, определим усилие в стержне S7, а из первого проверим правильность нахождения ранее вычисленных значений.
(стержень
сжат);
.
Равенство нулю первого уравнения подтверждает правильность полученных результатов.
Рисунок 2.12
Далее подставим вычисленные ранее результаты в представленную систему:
Полученные тождества показывают, что усилия в стержнях определены верно.
6) Определим усилия в стержнях 2, 3, 4 методом сечений (методом Риттера). Проведем срез через выше указанные стержни сечения и рассмотрим равновесие левой части фермы, на рассматриваемую часть фермы будут дейтсвовать силы RA, S4, S3, S2,. Усилия в перерезанных стрежнях будут внешними и войдут в условие равновесия:
Рисунок 2.13
На левую часть фермы действует произвольная плоская система сил.
Составим условия равновесия таким образом, чтобы в каждое уравнение входило только одно неизвестное. Для нахождения усилия S4 необходимо составить сумму моментов относительно точки пересечения усилий S2 и S3, (точка III). Для нахождения S2 запишем уравнение моментов относительно точки II (точки пересечения линий действия усилий, которые, необходимо исключить) такие точки называются точками Риттера.
Так как S4 // S2, то для нахождения S3 необходимо записать сумму проекций на ось у (ось, перпендикулярная S3 , S4).
Решая систему уравнений, необходимо получим искомые усилия:
Результаты, полученные методом сечений, совпадают с результатами, вычисленными методом вырезания узлов, что подтверждает правильность решения представленной задачи.