5.5 Пример выполнения расчетно-проектировочной работы «Геометрические характеристики плоских фигур»

Определить положение главных центральных осей и вычислить соответствующие моменты инерции для фигуры состоящей из прокатных профилей, показанной на рисунке 5.5.

Рисунок 5.5

Фигура состоит из 3-х прокатных профилей:

1. Швеллер № 24 (ГОСТ 8240-72);

2. Двутавр № 22 (ГОСТ 8239-72);

3. Равнобокий уголок № 5 (ГОСТ 8509-72).

1) Используя таблицы сортамента (ГОСТа) прокатных профилей (предлагаемые как справочный материал в учебниках и справочниках по сопротивлению материалов) выписываем значение площадей каждой фигуры F₁ ,F₂, F₃.

2) Введем произвольные (случайные) оси координат z_сл и у_сл (рисунок 5.5) эти оси можно располагать как угодно.

3) Определим координаты центров тяжести с₁(z_1.,у₁); с₂(z_2.,у₂); с₃(z_3.,у₃) каждого прокатного профиля в системе отсчета z_слО_слу_сл и обозначаем их на чертеже, проводя параллельно осям z_сл и у_сл.

4) Вычисляем статические моменты S_zсл и S_усл, а также координаты центра тяжести всего сечения z_c, y_c и проведем через точку с базовые центральные оси z, y (см. рисунок 5.5). Для упрощения расчетов все данные пунктов 1), 2), 4) занесем в таблицу 5.2.

Таблица 5.2 – Геометрические параметры и статические моменты

№
1	12	24,42	30,6	367,2	747,252
2	5,5	11	30,6	168,3	336,6
3	22,58	20,58	4,8	108,384	98,784
			66	643,884	1182,636

Суммируя соответствующие столбцы, находим общую площадь и статические моменты относительно осей z_сл и у_сл, после чего определяем координаты центра тяжести по формулам:

0. 5) Определяем координаты центра «с» в собственных системах отсчета ; ; , т.е. расстояния и с учетом знака, где:

6) Выберем из таблиц сортамента необходимые значения моментов инерции для каждого из профилей . Данные пунктов 5) и 6) занесем в таблицу 5.3

Таблица 5.3 – Моменты инерции

№
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2,244	6,501	30,6	208	2900	0	154,0874	1293,248	446,400
2	-4,256	-6,919	30,6	2550	157	0	554,274	1464,9	901,0863
3	12,824	2,661	4,8	11,2	11,2	-6,585	789,384	33,988	163,798
				2769,2	3068,2	-6,585	1497,745	2792,136	1511,284

Центробежный момент инерции для уголка относительно осей и параллельных полкам можно определить, воспользовавшись формулой:

,

где главные центральные моменты инерции (из таблицы сортамента);

- угол между осями с учетом знака.

7) Найдем осевые и центробежный моменты инерции всего сечения относительно осей z и у. представляет собой результат сложения сумм четвертого и восьмого столбцов, - пятого и седьмого, - шестого и девятого столбцов.

Так как , то ось z_гл является осью, относительно которой момент инерции будет максимальным.

8) Определим градус угла относительно осей z и z_гл

.

Поскольку угол отрицательный, главная центральная ось z_гл откладывается относительно центральной оси z по часовой стрелке.

9) Изобразим на чертеже оси «min» и «max» (главные оси z_гл и у_гл) (см. рисунок 5.5).

10) Вычислим главные центральные моменты инерции воспользовавшись формулой (5.8)

.

Таким образом, главные центральные моменты инерции равны

.

11) Проверим правильность определения геометрических параметров , и , при этом обязательно должны выполняться два условия:

Оба условия выполняются, таким образом, необходимые геометрические параметры найдены правильно.