7.7 Вопросы для самопроверки

1) Что представляет собой балка?

2) Что называется прямым изгибом?

3) Что называется косым изгибом?

4) Что представляет собой изгибающий момент в поперечном сечении балки?

5) Что такое внутренняя сила в поперечном сечении балки?

6) Чему равна продольная сила в поперечном сечении балки?

7) Чему равна горизонтальная опорная реакция балки?

8) Что представляет собой эпюра ?

9) Что представляет собой эпюра ?

10) Какая дифференциальная зависимость существует между поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки , перпендикулярной к оси бруса (балки)?

8. РАСЧЕТ ЦЕНТРАЛЬНО-СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

НА УСТОЙЧИВОСТЬ

8.1 Теоретические сведения, основные определения и формулы

В предыдущих представленных задачах поперечные размеры конструкций определялись из условия прочности, однако разрушение может произойти не только потому, что будет нарушена прочность, а и

от того, что стержень не сохранит той формы, которая придана конструктором, при этом изменяется и характер напряженного состояния.

Поэтому для надежной работы конструкции мало, чтобы она была прочна, надо, чтобы ее элементы были устойчивы: они должны при действии нагрузок деформироваться в таких пределах, чтобы характер их работы оставался неизменным.

В системе, которая находится в деформированном состоянии, равновесие между внешними нагрузками и вызываемыми ими внутренними силами, может быть как устойчивым, так и неустойчивым.

Упругое равновесие устойчиво, если деформированное тело при любом малом отклонении от состояния равновесия стремится вернуться к первоначальному состоянию и возвращается к нему после снятия нагрузки. Упругое равновесие неустойчиво, если деформированное тело будет продолжать деформироваться в направлении вызванного отклонения, и после прекращения воздействия, в исходное состояние не возвращается. Между двумя этими состояниями находится переходное состояние, называемое критическим. При критическом состоянии деформированное тело находится в безразличном равновесии: оно может сохранять первоначально приданную форму, но может и потерять ее от самого малого воздействия.

Устойчивость деформированного тела зависит от приложенной к нему нагрузки. Нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы равновесия, называется критической и обозначается Р_кр.

При Р<Р_кр –устойчивая форма равновесия;

Р=Р_кр –состояние безразличного равновесия;

Р>Р_кр –стержень теряет устойчивость.

Достижение критических нагрузок, равносильно потере несущей способности конструкции, поэтому для обеспечения определенного запаса устойчивости необходимо выполнение условия

(8.1)

где Р – действующая нагрузка,

допускаемая нагрузка, которая при коэффициенте запаса устойчивости n_у, равна:

(8.2)

Критическое напряжение, возникающее в сжатом стержне при критической нагрузке не должно превышать предела пропорциональности

(8.3)

где F- площадь поперечного сечения стержня.

Критическая сила для стержней постоянного сечения в упругой стадии работы материала определяется по формуле

(8.4)

где Е – модуль упругости;

минимальный момент инерции сечения;

коэффициент приведения длины, зависящий от условий закрепления стержня (см. рисунок 8.);

длина стержня.

Подставив выражение (8.4) в отношение (8.3), получим формулу Эйлера для определения

(8.5)

где - минимальный радиус инерции,

- безразмерная величина, называемая гибкостью стержня.

Формула (8.5) справедлива начиная с определенного значения гибкости, которое может быть найдено из условия

(8.6)

Определим предельную гибкость, ниже которой, выражением (8.5) пользоваться нельзя:

(8.7)

Условие применимости формулы (8.5) с учетом (8.7) можно записать в виде

(8.8)

то есть формула Эйлера для определения критического напряжения применима при условии, что гибкость стержня больше или равна предельной.

Таким образом, данная формула пригодна только для сравнительно длинных и тонких стержней.

Однако и где при напряжениях в стержне, больших , при которых формула Эйлера дает завышенные значения критических напряжений, стержень может потерять устойчивость. В этом случае значение критического напряжения может быть вычислено по формуле Ясинского

(8.9)

Для чугуна можно использовать квадратичную зависимость

(8.10)

где а₀, b₀, с₀ – коэффициенты, зависящие от материала, значения которых, приведены в таблице 8.1.

Критическая сила в этом случае может быть вычислена по формуле

(8.11)

Для остальных стержней должно соблюдаться условие

или

(8.12)

где наименьшее значение гибкости, при котором справедливо выражение (8.9);

предел текучести.

Как видно, расчет стерней на устойчивость зависит от их гибкости, в связи с этим рекомендуется разделить стержни по гибкости на три группы: малой гибкости (жесткие), для которых гибкость изменяется в пределах средней гибкости при и большой гибкости, для которых

При применима формула Эйлера. При материал стержня работает за пределами упругости и зависимость между и устанавливается по формуле Ясинского. При допускается проводить только расчет на прочность без проверки на устойчивость. Критическое напряжение при этом равно пределу текучести

При расчете стержней большой гибкости наиболее опасным следует считать момент возникновения при сжатии напряжений, равных . В связи с этим, для обеспечения работоспособности стержня необходимо выполнение следующего условия устойчивости:

(8.13)

где допускаемое напряжение на устойчивость, которое можно определить по формуле

(8.14)

где n_у – коэффициент запаса устойчивости, который из-за возможной эксцентричности приложения нагрузки, искривления стержня, а также неоднородности материала всегда принимается несколько больше основного коэффициента запаса прочности . Числовые значения n_у для различных материалов приведены в приложении Г .

На практике при расчете на устойчивость пользуются не допускаемым напряжением на устойчивость , а допускаемым напряжением на сжатие с соответствующим поправочным коэффициентом , то есть

, (8.15)

где коэффициент уменьшения допускаемого напряжения на сжатие, зависящий от гибкости стержня и материала. Значения данного коэффициента приведены в приложении Е.

Из выражения (8.15) с учетом (8.14) коэффициент снижения допускаемого напряжения определяется следующим образом

(8.16)

Учитывая (8.15), расчетную формулу на устойчивость (6.13) можно переписать в виде

или

(8.17)

где F_брутто - «чистая» площадь.

Различают два вида расчета на устойчивость: поверочный и проектировочный.

8.1.1 Поверочный расчет

При поверочном расчете исходят из известных размеров и формы поперечного сечения стержня и определяют прежде всего минимальный момент инерции J_min, площадь F и наименьший радиус инерции i_min, а также гибкость . Затем зная гибкость, по таблице находят коэффициент , вычисляют допускаемое напряжение на устойчивость сравнивая его с действительным напряжением и выясняют, удовлетворяется ли условие

.

8.1.2 Проектировочный расчет

При проектировочном расчете исходят из условия (8.17). Необходимое сечение определяется формулой

(8.18)

Кроме искомой площади F_брутто в последнем выражении неизвестным также является коэффициент . Поэтому при подборе сечения используется метод последовательных приближений. Первоначально принимается При принятом по формуле (8.18) определяется F_брутто и подбирается соответствующее сечение. Зная сечение и определив J_min, i_min и устанавливается фактическое значение коэффициента . Если значительно отличается от , то и напряжение будет отличаться от допускаемого. В этом случае расчет следует повторять до тех пор, пока разница между действительным и допускаемым напряжениями не будет превышать 5%.

При расчете стержней методом последовательных приближений не обязательно доводить каждое отдельное приближение до определения действительного и допускаемого напряжений, а сравнивать между собой исходный и полученный в рассматриваемом приближении коэффициенты , разница между которыми также не должна превышать 5%.