6.4 Пример выполнения расчетно-графической работы (тема 6.1- статически определимые системы)
Для заданного стального бруса (рисунок 6.3, а) построить эпюру продольных сил, проверить прочность отдельных участков, определить полное удлинение (укорочение) и найти перемещения сечений. Значение силы взять Р=100кН, площадь сечения F=210–3 м2, длину участка бруса ℓ=0,4м, модуль продольной упругости (для стали) Е=2105МПа, Р1=2Р, Р2=Р, Р3=3Р, F1= F, F2=2F, = 150МПа.
1) Построение эпюры продольных сил.
По действию приложенных сил брус разделен на три участка. Для определения продольных сил на участках воспользуемся методом сечений (рисунок 6.3). Проецируя внешние силы, приложенные ниже рассматриваемых сечений, находим значение продольных сил в поперечных сечениях выделенных участков из зависимости N = F:
N1 = -Р1 = - 2Р = - 200 (кН);
N2 = Р2 - Р1 = Р – 2Р = - 100 (кН);
N3 = Р2 -Р1 -Р3 = Р - 2Р - 3Р = - 4Р= - 400 (кН).
По полученным значениям строим эпюру продольных сил N.
2) Определение нормальных напряжений.
В поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения, определяемые по формулам:
Прочность отдельных участков бруса обеспечивается удовлетворением заданному условию прочности = 150 МПа.
3) Определение деформаций и перемещение сечения бруса.
Согласно формуле, перемещение сечения бруса δ участка а равно деформации этого участка длиной ℓ.
Рисунок 6.3
6.5 Пример выполнения расчетно-графической работы (тема 6.2 – статически неопределимые системы)
Абсолютно жесткий брус с действующей на него заданной нагрузкой Q (рисунок 6.4) поддерживается стержнями 1 и 2, изготовленными из стального проката (сдвоенные уголки).
Определить
грузоподъемность
,
допускаемую нагрузку
.
Допускаемое нормальное напряжение
Стержень 1:
,
стержень 2:
,
а=2м, s=3м.
Рисунок 6.4
1) Вычисляем площадь поперечного сечения стержней F1 и F2 по таблице сортамента для равнобокого уголка:
F1=1,52·2=14,78 (см2)=0,001478(м2);
F2=5,41·2=10,82 (см2)=0,001082(м2).
2) Определим длины стержневых элементов согласно расчетной модели:
3)
Представим схематическое изображение
плана сил и определим степень статической
неопределимости
(см. рисунок 6.5).
Рисунок 6.5
Работоспособность данной шарнирно-стержневой системы определяется прочностью двух стержней 1 и 2, в связи с этим необходимо найти величины усилий N1, N2 возникающих в этих стержнях.
В
представленной конструкции
четыре неизвестных
(два реактивных усилия и два продольных усилия). Статика позволяет составить три уравнения, в связи с этим данная система является один раз статически неопределимой
.
4) Запишем уравнение моментов всех сил относительно точки А (чтобы исключить из него возникающие в опоре реакции).
.
5) Вычертим предполагаемый план перемещений.
Рисунок 6.6
Под
действием силы Q,,
абсолютно жесткая балка повернулась
вокруг шарнира А
против часовой стрелки, в результате
произошло удлинение стержней 1
и 2.
Деформация данных стержней составляет
соответственно
.
Принимая во внимание, что эти величины
несравнимо малы по отношению к длинам
стержней
,
их можно найти (с достаточной степенью
точности) если соединить точки В
и С,
а также точки Д
и С,
и провести перпендикуляр из точки В
на прямую ДС.
Рассмотрев треугольник ВСК,
получим:
.
Используя закон Гука, уравнение совместности абсолютных линейных деформаций запишем в развернутом виде
6)
Усилия
и
можно рассчитать из системы уравнения
равновесия (поз. 4) и условия совместности
деформаций (поз. 5) выразив данные усилия
в общем виде, через пока еще неизвестную
силу
.
7)
Вычислим нормальные напряжения
и
возникающие в сечениях 1-го
и 2-го
стержней:
8)
Определим расчетные деформации
по формулам:
9)
Найдем грузоподъемность
из равенства абсолютной величины
расчетного и допускаемого напряжений
10)
Вычислим внутреннее продольное усилие
из уравнения моментов при
,
что соответствует преобразованию
статически неопределимой системы в
статически определимую.
11)
Рассчитаем нормальное напряжение
статически определимой системы от
усилия
.
12) Определим допускаемую нагрузку из условия прочности:
13)
Оценим в процентах разность
14)
Нагрузка, которую может выдержать
статически неопределимая конструкция
на
больше, чем выдерживает статически
определимая система.