10. Основы логики. Основные логические операции. Логические выражения и таблицы истинности. Логические законы. Методика. Основы логики

Логика – наука о законах и формах мышления

Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно

Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть

Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом

Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение

Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0)

Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций

Основные логические операции

• Логическое отрицание {инверсия).¬A, не А.

• Логическое умножение {конъюнкция).А&В, A and В, А*В, А^В

Высказывание А ^ В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

• Логическое сложение {дизъюнкция).A v В, A or В, А + В, А или В. Высказывание A v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Остальные операции алгебры логики выражаются через первые три опе­рации: отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию.

• Логическое следование {импликация).А > В, А => В. Высказывание А > В ложно только тогда, когда А истинно, а В ложно. Импликация выражается через дизъюнкцию и отрицание: А => В = ¬A v В.

• Эквивалентность (равносильность, необходимо и достаточно, тогда и только тогда).А ~ В, А <=> В, А = В. Высказывание А <=> В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Эквивалентность выражается через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: А <=> В = (¬А v В) ^ (¬B v А).

Логические выражения и таблицы истинности.

Таблица истинности - таблица, показывающая,  какие значения принимает составное высказывание при  всех сочетаниях (наборах)  значений  входящих в него простых высказываний.

Логическое выражение - составные высказывания в виде формулы.

Алгоритм построения  таблицы  истинности:

1.    подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2.   определить число строк в таблице по формуле m=2ⁿ, где n - количество переменных;

3.   подсчитать количество логических операций в формуле;

4.   установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5.   определить количество столбцов: число переменных + число операций;

6.   выписать наборы входных переменных;

7.   провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

1) Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция - это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными

А	В	А^В
	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Логическое сложение или дизъюнкция:

Дизъюнкция - это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженныя ложны.

А	В	А vВ
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Логическое отрицание или инверсия:

Инверсия - это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот если исходное ложно, то будет истинным.

А	Не А
1	0
0	1

Логическое следование или импликация:

Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь.

А	В	А=>В
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

А	В	А<=>В
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1