5. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Свойства решений. Методика.

Опр. Линейным уравнением относительно неизвестных   называют выражение вида , где   – числа.

Опр. Решением линейного уравнения с n неизвестными    называют последовательность n чисел  , если данное уравнение превращается в верное числовое равенство после подстановки x₁=k₁, x₂=k₂, … x_n=k_n. 

Опр. Противоречивым линейным уравнением называется уравнение вида  , так как b≠0, то оно не имеет решений.

Опр. Системой линейных уравнений называют конечную совокупность линейных уравнений относительно неизвестных  . 

где числа a_ij(i=1,..m и j=1,..n) называются коэффициентами, числа b_i – свободными членами системы линейных уравнений.

Опр. Решением системы уравнений называют такой упорядоченный набор чисел  , который является решением каждого уравнения системы.

Опр. Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или убедиться в том, что их нет.

Опр. Совместной называется система уравнений, которая имеет хотя бы одно решение.

Опр. Система уравнений является либо несовместной (не имеет ни одного решения), либо определенной (имеет единственное решение), либо неопределенной (имеет бесконечное множество решений). В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Опр. Две системы линейных уравнений называют равносильными (эквивалентными), если они имеют одни и те же решения.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются только над строками системы.

Элементы поля для краткости будем называть скалярами. Следующие преобразования системы линейных уравнений называются элементарными: 1) умножение уравнения на ненулевой скаляр; 2) прибавление одного уравнения, умноженного на скаляр, к другому; 3) перестановка двух уравнений; 4) перестановка двух столбцов с неизвестными; 5) вычеркивание уравнений вида 0 · x₁ + 0 · x₂ + · · · + 0 · x_n = 0. Уравнение вида 0 · x₁ + 0 · x₂ + · · · + 0 · x_n = 0 будем называть нулевым.

Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁ , x₂ , ..., x_n.

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей решение которой находят по рекуррентным формулам:

x_n =d_n , x_i = d_i -S ⁿ_k=i+1 c_ik x_k , i=n-1, n-2, ...,1.

Матричная запись метода Гаусса.

1.Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы к ступенчатому виду с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции:

- перестановка строк;

- умножение строки на число, отличное от нуля;

- сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло).

2. Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица  последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.

Свойства решений:

1) Если   и   — два решения системы  , то при любых α и β, вектор  - решение системы.

2)Если    и — два решения системы  , то вектор   -  — решение приведенной однородной системы  .

3) Если   решение системы  , а   — решение системы  , то вектор   +  — решение системы 

Основные общие методы решения систем уравнений отрабатываются в средней школе при изучении темы “Системы линейных уравнений” в 7-ом классе. Это метод подстановки, метод сложения, графический метод. На материале темы “Системы рациональных уравнений” (8-ой класс по учебнику С.М. Никольского и др.) обычно предполагается тренировка тех же методов на системах другого вида и иногда введение дополнительных общих методов решения систем.  В реальной практике, когда ученик сталкивается с системой уравнений, ему необходимо самому сориентироваться и выбрать способ ее решения, но анализ учебных пособий показал, что в них процесс анализа системы и выбора способа решения не делается предметом специального усвоения, а лишь тренируется умение применять изученный метод к данной системе. В итоге учащиеся не всегда владеют полной системой знаний и умений, ориентируясь на которые можно выбрать (построить) адекватный, наиболее эффективный способ решения заданной системы.

Метод подстановки:

1. Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы (более простого).  2. Подставить полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы.  3. Решить полученное уравнение и найти одну из переменных.  4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в уравнение, 

полученное на первом шаге и найти вторую переменную.  5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены соответственно

на третьем и четвёртом шаге.

Метод сложения:

При решении систем линейных уравнений методом сложения уравнения системы почленно складывают, причём одно или оба (несколько) уравнений могут быть умножены на различные числа. В результате приходят к эквивалентной (равносильной) системе линейных уравнений, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Графический метод:

1. выразить переменную У через Х (если возможно);

2. построить график каждого уравнения;

3. найти координаты точки пересечения графиков.

Координаты любой точки построенного графика являются решением уравнения, следовательно координаты каждой точки пересечения являются решением системы уравнений.