4. Системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую. Операции в различных системах счисления. Связь между 2-, 8-, 16-теричными системами счисления. Методика.

1) Понятие системы счисления

Система счисления - это способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называются цифрами.

Система счисления: даёт представления множества чисел (целых или вещественных); даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление); отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел.

Символы, при помощи которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность – алфавитом системы счисления. Количество цифр, составляющих алфавит, называется его размерностью.

Число – абстракция, используемая для количественной характеристики объектов.

Виды систем счисления: 1) позиционные (значение цифры зависит от её позиции в изображении числа): двоичная, троичная, шестнадцатеричная и т.д.;

2) непозиционные (значение цифры не зависит от места, занимаемого в изображении числа: единичная, римская, алфавитные);

3) смешанные.

2) Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе.

К более современным непозиционным системам относят: 1) египетскую иероглифическую систему нумерации;

2) римскую нумерацию;

3) алфавитные системы нумерации (например: ионийская система (Древняя Греция), славянская, еврейская, грузинская и армянская).

К непозиционным системам относят римскую нумерацию. За узловые числа в этой системе принимают числа: единица - I, пять - V, десять - X, пятьдесят - L, сто - С, пятьсот - D, тысяча - М. Все алгоритмические числа получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания. Вычитание производится тогда, когда знак, соответствующий меньшему узловому числу, стоит перед знаком большего узлового числа.

1) Позиционные системы счисления

Позиционная система счисления - это совокупность определений и правил, позволяющих записывать любое натуральное число с помощью некоторых значков или символов, каждый из которых имеет определенный смысл в зависимости от его места в записи числа (от его позиции). Чаще всего применяют позиционную систему счисления с фиксированным основанием. Основанием системы может быть любое натуральное число p, p>1

Систематической записью натурального числа N по основанию p называют представление этого числа в виде суммы:

N = а_npⁿ +...+а₁ p¹ + а₀,

где а_n, ..., а₁, а₀ - числа принимающие значения 0, 1, ..., p - 1, причем, а_n ≠0.

Позиционная система счисления с основанием ρ называется ρ - ичной (двоичной, троичной и так далее). На практике чаще всего применяется десятичная ρ= 10).

Разряд - это позиция цифры в числе. Разрядность числа – это количество цифр, из которых состоит число (например, 264 - трехразрядное число, 00010101 - восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево.

В системе счисления с основанием q единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q-ричной системе счисления требуется q различных цифр, изображающих числа 0,1,…, q-1.

Алфавитом произвольной системы счисления с основанием p служат числа 0, 1,…,p-1.

Любое натуральное число можно записать в какой угодно p-ичной системе счисления, причём единственным образом.