3. Смешанное произведение векторов. Методика обучения решению задач с помощью векторов.

Пусть пространство ориентировано и задан ортонормированный базис .

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора aˉ на векторное произведение векторов bˉ и cˉ.

Замечание: смешанное произведение векторов иногда наз-ют скалярно-векторным или тройным.

Обозначение: или

Итак, по определению

Геометрический смысл смешанного произведения.

 Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, построенного на данных векторах, отложенных от одной точки (если векторы л.н.з.).

Vпарал = | |

Вычисление через координаты векторов в ортонормированном базисе. Если в ортонормированном базисе ,

то = .

Док-во: по определению =

=

Тогда: = = - + ч.т.д.

Свойства смешанного произведения векторов.

Теорема (свойства ):

1. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда

2. ( ) тогда и только тогда, когда тройки векторов и ориентированы одинаково (противоположно).

3. = - = - = -

4. = =

5. = =

6. ( ) = + .

7. Если векторы имеют координаты относительно произвольного базиса , то =

8. Пусть тэтраэдр ABCD построен на векторах , тогда его объем .

Методика обучения решению задач с помощью векторов в школьном курсе геометрии.

Тема начинает изучаться в 8 классе в курсе планиметрии. Вводится понятие вектора. Изучаются правила сложения и вычитания векторов. Дальнейшее изучение темы в 10 классе в курсе стереометрии: изучение векторов. 11 класс: в начале учебного года изучается метод координат.

При организации уроков-практикумов важно продумать систему вопросов к этапу анализа каждой задачи. Учащиеся должны осознать, какой прием использован при решении данной задач, как в дальнейшем можно использовать тот или иной факт.

Таким образом, учащиеся под руководством учителя должны выделить общий алгоритм решения задач для каждого из выделенных типов 1)-4). Например, чтобы решить задачу на перевод геометрического свойства фигуры на векторный язык, необходимо:

Записать векторное выражение, логически «вытекающее» из определения данного геометрического свойства, Записать равносильную задачу, Преобразовать с помощью законов векторной алгебры.

Важно обращать внимание учащихся на то, что одному и тому же геометрическому факту может соответствовать несколько векторных формул, но все эти соотношения равносильны между собой. При решении конкретной задачи следует выбирать ту векторную формулу, которая наиболее соответствует условию и требованию задачи.

При решении задач на преобразование векторных выражений требуется выполнить следующую последовательность действий: Раскрыть скобки, Сгруппировать векторы таким образом, чтобы к каждой паре векторов можно было применить или сложение векторов по правилу треугольника, или правило разности двух векторов с общим началом.

Для более эффективного выполнения учащимися данных типов упражнений необходимо составить с ними таблицы основных векторных формул и словарь перевода геометрических свойств фигур на векторный язык.

Так как задач, необходимых для успешного овладения выделенных умений, требуется решить достаточно много, то следует использовать принципы варьирования задач.

4. Различные способы задания прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Роль координатного метода в основной школе.

   Различные способы задания прямой.

1. Векторное (векторно-параметрическое) уравнение прямой.

Выберем на плоскости произвольную АСК О и зададим прямую точкой М₀ и направляющим вектором , . М а  , но тогда t R: =t .

Пусть - радиус-векторы точек  а и Ма (рис.).

Тогда = +t ( )

Данное уравнение наз.векторным или векторно-параметрическим ур.прямой, t-параметр.

2. Уравнение прямой, заданной точкой М₀ и направляющим вектором .

Пусть в АСК задана прямая а=( М₀, ), М₀(х₀,у₀) , , М (х,у).

(х-х₀, у-у₀)

Так как  , то =0 или а2 (х-х0) – а1(у-у0) = 0.

Полученные уравнения наз.уравнением прямой, заданной точкой и направляющим вектором.

Замечание: введем обозначения: А=а₂, В= -а₁, С= - а₂х₀+а₁у₀, тогда получим уравнение Ах+Ву+С=0, А²+В²≠0 ( ).

Итак, уравнение любой прямой в АСК является уравнением первой степени, при этом вектор (-В,А) параллелен прямой а.

3. Общее уравнение прямой в АСК.

Т. Линия на плоскости, заданная в АСК ур.первой степени Ах+Ву+С=0, А²+В²≠0, есть прямая.

Док-во: необходимость следует из замечания (п.2). Достаточность: пусть линия на плоскости задана данным уравнением первой степени. Так как А²+В²≠0, то пусть для определенности А≠0, тогда А( или .

На плоскости существует М₀( ) и (-В,А), ≠0, но тогда сущ. прямая, а= (М₀, ) с направляющим вектором (-В,А)≠0 ( ). Ч.т.д.

Данное ур.наз. общим уравнением прямой.

4. Параметрические уравнения прямой.

Пусть в АСК прямая задана точкой М₀ и направляющим вектором , при этом М₀ (х0,у0), (а1, а2) и Ма: М(х,у).

(х-х₀, у-у₀). , тогда

Полученные ур.наз.параметрическими ур.прямой, t-параметр.

5. Каноническое уравнение прямой.

Пусть в АСК прямая задана точкой М₀ (х0,у0) и направляющим вектором (а1, а2).

а) если а1≠0, а2≠0, то из п.4 следует . Полученное уравнение наз.каноническим ур.прямой

б) если а1=0 (а2≠0), то ур.прямой:х=х0;

если а2=0 (а1≠0), то ур.прямой: у=у0.

6. Уравнение прямой, заданной двумя точками.

Пусть в АСК О прямая задана двумя точками М1(х1, у1) и М2(х2,у2).

Тогда вектор = ₂ (х2-х1, у2-у1) – направляющий вектор прямой а. Для М (х,у)а: (х-х1, у-у1)  ₂, откуда =0

Если х2-х1≠0, у2-у1≠0, то получим уравнение .

7. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть в АСК прямая а Ох=М1(а,0), а Оу=М2(0,b), точка О не принадлежит а. подставим координаты точек М1 и М2 в уравнение прямой п.6: или =1.

8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть в АСК О прямая задана М₀ (х0,у0) и : не ǁ , но тогда координата а1≠0.

Число наз. Угловым коэффициентом прямой а.

Т.Угловой коэффициент к прямой а не зависит от выбора направляющего вектора.

Так как не ǁ , то за точку М₀ можно принять точку пересечения прямой а и Оу, т.е М₀(0,b). Из ур. п2 получим: =0 или у=кх+b, . Последнее уравнение и называют уравнением с угловым коэффициентом.

9. Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором.

Ненулевой вектор наз. перпендикулярным данной прямой а (нормальным вектором, вектором нормали), если он перпендикулярен любому направляющему вектору

Обозначение: а.

Если прямая а в ПДСК задана уравнением Ах+Ву+С=0, то а.

Т. Пусть в ПДСК О точка М₀(х0,у0) а (а-прямая) и ) – нормальный вектор прямой а, а, тогда ур. прямой а имеет вид: А(х-х0)+В(у-у0)=0.

Док-во: Для М(х,у) а: (х-х0; у-у0) ⏊ , но тогда: =0 или А(х-х0)+В(у-у0)=0. Ч.т.д.

Данное ур.наз.уравнением прямой, заданной точкой и нормальным вектором.

10. Нормальное уравнение прямой.

Уравнение прямой в ПДСК: ax+by+c=0, =1 наз. нормальным ур.прямой (или уравнением прямой в нормальной форме).