8. Дифференцируемые функции одной переменной. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования. Методика введения понятия производная в школьном курсе математики.

Определение. Пусть f(x) - функция, определенная в некоторой окрестности точки x₀. Производной функции f(х) в точке х₀ называется число, равное , если этот предел существует, и обозначаемое )

Определение. Производной функции f (х) в произвольной точке х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, стремящемуся к нулю, т.е.

Если в точке х₀ пределы не существуют, говорят, что функция в т. х₀ не имеет производной.

Определение. Если функция в некоторой точке имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в этой точке.

Определение. Касательной к кривой, заданной уравнением y=f(x), в точке М называется предельное положение секущей, когда точка N неограниченно приближается к данной точке М.

Секущая к кривой, заданной уравнением у = f(x), соединяющая

точки М(х₀, у₀) и N(х₀+Δх, у₀+Δу), имеет угловой коэффициент

Учитывая, что касательная есть предельное положение секущей, замечаем, что угловой коэффициент касательной в точке M(x₀, y₀) равен k_kac= . Данный факт выражает геометрический смысл производной: производная f’(x₀) есть угловой

коэффициент касательной в точке касания с абсциссой х₀ , т.е. f’(x₀)=tgα, где α - угол между касательной и положительным направлением оси Ох (рис.). Тогда касательная к кривой, заданной уравнением у = f (х), в точке М(х₀, у₀) имеет уравнение

Рассмотрим производную с общей точки зрения. Пусть функция f(x) и ее аргумент х получат приращения Δf(x) и Δх соответственно. Отношение является средней скоростью изменения функции f(x) по отношению к х. Тогда предел этого частного есть мгновенная скорость изменения этой функции f (х) по отношению к х.

Приложением этого результата к физике является механический смысл производной: мгновенная скорость движения s(t) есть производная пути в момент времени t, т.е. .

Правила дифференцирования.

Таблица производных.

Основные правила дифференцирования, которые доказываются по определению производной:

(си)’ = си’, где с = const (константу можно выносить за знак производной функции);

Если функции u=u(x), v=v(x) имеют производные в т.х₀, то u(x)±v(x) также имеют производные в т.х_0. Причем

Пусть функции u=u(x), v=v(x) имеют производные в т.х₀, тогда их производные также имеют производные в т.х_0. Причем

Если функции u=u(x), v=v(x) имеют производные в т.х₀, причем ≠0, то и функция также имеет производную в т.х₀ и имеет место равенство:

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. Учебник. 2009.

Производная вводится во 2 полугодии 10 класса.

Для введения понятия производная вводятся понятия предела последовательности, геометрическая прогрессия, предел функции. Данные понятия очень тщательно разобраны и приводится множество примеров для отработки навыков решения задач.

Методические особенности введения определения «производной». Рассматривают две различные задачи, физическую и геометрическую, процесс решения которых как раз и приводит к возникновению новой математической модели.

Методические особенности введения геометрического смысла производной функции. Именно с геометрического смысла и начинается эта тема. Представлены графики и полное описание. Сформулировано в форме задач с решениями.

Методические особенности изучения применения производной при исследовании функции. В учебнике описан алгоритм исследования функций: 1. Найти производную функции; 2. Найти стационарные и критические точки; 3. Определить знаки производной на получившихся промежутках; 4. Опираясь на теоремы сделать соответствующие выводы о монотонности функции и экстремумах.

Никольский С.М. и др. Алгебра и начала анализа. 11 класс. 2009.

Производная вводится в 1 полугодии 11 класса, поэтому производная обобщает и систематизирует свойства различных функций – тригонометрических, логарифмических, степенных и др

Изучение темы «Производная» начинается с введения понятия приращения функции и формулировки правила его вычисления. Потом рассматриваются дифференцируемые функции. При помощи предела дается определение дифференцируемой функции в точке. На примере доказываются дифференцируемости функций.

Методические особенности введения определения «производной». Сначала рассматриваются задачи с решениями на приращение функции, основываясь на этом вводится определение производной.

Методические особенности введения геометрического смысла производной функции. Все объяснение дается на наглядных примерах.

Методические особенности изучения применения производной при исследовании функции. В учебнике дается множество теорем по данной теме. Явный алгоритм не представлен.