Методика изучения рациональных чисел в школе.
Введение рациональных чисел (вида p/q, где p-целое, а q-натуральное числа) в курсе математики 5 класса является расширением знаний полученных в начальной школе об обыкновенных дробях. Учащиеся знакомятся с такими вопросами как: доля единицы, изображение дробей на координатном луче, правильные и неправильные дроби, основное свойство дроби, представление натурального числа в виде дроби. Вводятся десятичные дроби, которые рассматриваются как частный случай обыкновенной дроби. Введение дробных чисел связывают с делением целого на части, с необходимостью более точного измерения величин. Формирование понятия дроби начинается с умения получать доли при делении какой-либо величины на несколько равных частей. Значение этой темы выходит далеко за рамки потребностей вычислительной линии курса. Рассмотрим, например, одно из правил знаков при умножении. В рамках 6 класса оно выглядит так: произведение положительного и отрицательного числа отрицательно. На самом деле, оказывается, что вообще х(–у) = –ху, независимо от того, какими числами являются х и (–у). Так, если х – число положительное, а у – отрицательное, то по этому правилу получается, что произведение положительного числа х и положительного числа –у положительно. Таким образом, в данной теме изучаются общие законы числового поля. Второй важной особенностью данной темы является то, что в ней вводится прямоугольная система координат. Этот вопрос не имеет никакого отношения к числовой линии и даже может считаться чужеродным в данной теме. Однако почти во всех учебниках математики 5–6 классов прямоугольная система координат вводится именно здесь. И это совершенно правильно, так как такая пропедевтическая работа может служить хорошей подготовкой к изучению функций в 7 и следующих классах. Именно в 6 классе можно научить детей новому для них графическому способу задания соотношений между двумя величинами. Еще не называя вещи своими именами, можно научить их строить графики линейных, квадратичных, кусочно-линейных функций – строить по точкам.
Система действительных чисел. Упорядоченное поле. Методика.
Опр. Поле, в котором любая фундаментальная последовательность сходится называется полным.
Опр. Системой действительных чисел наз. Полное архимедовски упорядоченное поле, или алгебра <R,+,·, 0, 1, «>»> наз-ся сис. Действительных чисел, если вып-ся след. аксиомы:
А. А1. a,bϵR ! mϵR: a+b=m;
A2. a,b,cϵ R a+(b+c)=(a+b)+c;
A3. a,bϵ R a+b=b+a;
A4. 0ϵ R и aϵ R a+0=a;
A5. aϵR ! a’ϵ R: a+a’=0;
A6. a,bϵR ! dϵ R: a*b=d;
A7. a,b,cϵ R a*(b*c)=(a*b)*c;
A8. a,bϵ R a*b=b*a;
A9.
aϵ
R a∙1=a;
A10.
aϵ
R
;
A11. a,b,cϵ R (a+b)*c)=a*c+b*c;
B.
A12.
a,bϵ
R a≠b
a>b
b>a;
A13. aϵ R a>a;
A14. a,b,cϵ R a>b b>c→a>c;
A15. a,b,cϵ R a>b → a+c>b+c;
A16. a,bϵ R cϵ R a>b ac> b>c;
C
A17.
a,bϵ
nϵ
N: a*n>b;
A18.
Свойства действительных чисел.
Любое действительное число есть предел последовательности рациональных чисел.
(о существ-ии корня любого N степени из положительного числа)
Поле действительных чисел можнолинейно и строго упорядочить не более чем единственным образом.
Акс. теория действ. чисел не противоречива и категорична.
Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин был предложен Артином в 1927 г.Пусть F — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение ≤(меньше или равно) со следующими свойствами:
Рефлексивность: x ≤x.
Транзитивность: если x ≤y и y ≤z, то x≤z.
Антисимметричность: если x≤y и y≤x, то x=y.
Линейность: все элементы F сравнимы между собой, то есть либо x≤y, либо y ≤x.
Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:
Если х≤y, то для любого z: x+z≤ y+z.
Если x≤0 и 0≤y, то 0≤x y.
Если все 6 аксиом выполнены, то поле F называется упорядоченным.
Методика.
Существует три подхода к введению понятия «иррациональное число».
При первом подходе можно выделить три основных этапа введения понятия: мотивационный, введение понятия, первичное закрепление.
Мотивационный этап. На этом этапе можно предложить решить следующую задачу: « Найти сторону квадрата, площадь которого равна 2». Алгебраической моделью ситуации является уравнение
.
Решением этого уравнения (с учетом
того, что длина выражается положительным
числом) является арифметический
квадратный корень из 2. Это число. Встает
вопрос: « Какому числовому множеству
принадлежит это число? »
2. Этап введения понятия.
3.Этап первичного закрепления. На этом целесообразно решать задачи на установление взаимосвязи известных числовых множеств, сравнение чисел, изображение чисел точками координатной прямой.
При втором подходе к введению понятия «иррациональное число » (« Алгебра-8» под ред. С. А. Теляковского) можно предложить ученикам следующие задания