Аффинные преобразования плоскости. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Различные подходы к введению понятия преобразования фигур в основной школе.
Аффинные преобразования плоскости.
Определение.
Преобразование
плоскости
называется аффинным, если оно любые три
точки А, В, С, лежащие на одной прямой,
переводит в три точки A’,B’,C’
(A
A’,
B
B’,
C
C’),
лежащие на одной прямой, и при этом
сохраняется простое отношение трех
точек: (А, В, С)=(A’,
B’,
C’)=
.
Теорема.
Рассмотрим любые два аффинных
преобразования
.
Если для любых двух точек
то
для любой точки М прямой АВ (
)
выполняется равенство:
.
Основная
теорема.
Пусть R=
и R’=
– любые два репера плоскости
.
Тогда существует единственное аффинное
преобразование
,
которое переводит репер R
и R’
и при этом любая точка М с координатами
(х,у) в репере R
переходит в точку М’ с теми же координатами
в репере R’
(
).
Доказательство:
существование.
Построим преобразование
по закону
,
тогда
– биекция, а значит
- преобразование плоскости
.
На произвольной прямой
рассмотрим любые три точки:
,
,
.
По заданному закону:
,
,
.
Пусть
,
тогда
.
Но по введенному закону эти же соотношения
сохраняются и для точек
(координаты точек в репере R’
– те же числа, что и в репере R),
следовательно, все три точки лежат на
одной прямой
откуда (по определению)
- аффинное преобразование плоскости
.
Теорема. Любое аффинное преобразование плоскости либо сохраняет ориентацию плоскости, либо меняет ориентацию.
Аналитическое выражение аффинного преобразования плоскости.
Теорема. Преобразование плоскости - аффинное преобразование тогда и только тогда, когда в некоторой АСК преобразование задано аналитически:
.
Свойства аффинных преобразований:
1. Прямая переходит в прямую, отрезок – в отрезок, луч – в луч, полуплоскость – в полуплоскость, угол – в угол, параллельные прямые – в параллельные прямые.
2. Сохраняется простое отношение в трех точек, а следовательно, середина отрезка переходит в середину отрезка.
3. Любое аффинное преобразование либо сохраняет ориентацию плоскости (преобразование 1 рода), либо меняет ориентацию (преобразование 2 рода).
Группа аффинных преобразований и ее подгруппы.
Теорема.
Обозначим через
- множество всех аффинных преобразований
плоскости
.
Обозначим
- композицию данных преобразований.
Пара (А,
)
– группа.
Группа (А, ) называется группой аффинных преобразований плоскости. Основной инвариант этой группы – простое отношение трех точек.
Подгруппы группы А.
1.
– множество всех аффинных преобразований
1 рода.
2.
- множество всех аффинных преобразований,
для которых
- неподвижная точка.
Аффинные преобразования плоскости, обладающие единственной неподвижной точкой, называется центроаффинными.
3. А(l) – множество всех аффинных преобразований, для которых l – прямая неподвижных точек.
4. Р – подобие.
5. D – движение.
6.
множество всех аффинных преобразований,
сохраняющих площадь S
фигуры
.
Такие аффинные преобразования называют
эквиаффинными, а данную подгруппу –
эквиаффинной подгруппой аффинной
группы.
Различные подходы к введению понятия преобразования фигур в основной школе.