11. Плоскость Лобачевского. Модель Кэли-Клейна. Цели и задачи курса геометрии основной школы.

Плоскость, на которой выполняется абсолютная геометрия и постулат Лобачевского, принято называть плоскостью Лобачевского.

Простейшие факты геометрии Лобачевского в схеме Гильберта: При доказательстве теорем будем использовать аксиомы I-IV групп Гильберта, т.е. аксиомы абсолютной геометрии и аксиому Лобачевского.

Т-ма1: Во всяком треугольнике АВС сумма внутренних углов меньше 180 (_АВС<2d).

Следствие: Во всяком простом четырехугольнике сумма внутренних углов меньше 4d.

Т-ма2 : Сумма внутренних углов треугольника непостоянна, т.е. не одна и та же для всех треугольников.

Док-во: П редположим противное:  - постоянная. Пусть А и С внутренние точки отрезка АВ и ВС, получим треуго-ик АВС. Делаем предположение, что _АВС=_АВС+β+ =+β++ =+ (1). С другой стороны +=2d; +=2d (+)++=4d (1)+++=4d – противоречие со следствием  предположение не верно. Теорема доказана.

В абсолютной геометрии можно доказать 3 признака равенства треугольников. В геометрии Лобачевского справедлив и 4й признак.

Т-ма3: (4й признак равенства треугольников): Если 3 угла одного треугольника соответственно равны 3м углам другого треугольника, то эти треуг-ки равны.

Т-ма4: Пусть прямые а и а лежат в одной плоскости и не пересекаются, т-ки А, В, С а, причем (АВС), А, В - ортогональные проекции точек А и В на прямую а, тогда ААС<ВВС.

Т-ма 5: Пусть на плоскости даны прямаяа и не лежащая не ней (.)А. Существует бесконечное множество прямых этой плоскости, проходящих через т-ку А и не пересекающих прямую а.

Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Выберем прямуюа и не лежащую на ней (.)А. Проведем перпендикуляр АВ к а. Проведем перпенд. АС к прямой АВ. Согласно Т-ме5 через А проходит бесконечное множ-во прямых не пересекающих прямую а. Прямая АС одна из этих прямых. Разобьем мн-во всех точек отрезка ВС на 2 класса: К₁={МВСАМа}, К₂={МВСАМа=} . Указанное разбиение удовлетворяет условиям аксиомы Дедекинда. Тогда существует (.)L, которая производит Дедекиндово сечение, т.е. для любых точек ХВС: если (ВХL), то ХК₁, а если (LХC), то ХК₂.

О пр: Прямые AL и AL называются параллельными прямой а, если выполняются 2 условия: 1)они не пересекают прямую а 2)все прямые пучка (А) ( с центром А) лежащие внутри 1ой пары вертикальных углов, образованных прямыми AL и AL пересекают а, а все прямые лежащие внутри другой пары не пересекают а.

Опр: BAL= называется углом параллельности на плоскости Лобачевского в (.)А относительно прямой а.

Опр: прямые bиа называются расходящимися (сверхпараллельными) если они не параллельны и не пересекаются.

Модель Кэли-Клейна - первая модель геометрии Лобачевского; с её помощью удалось доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости Евклидовой геометрии.

Плоскость Лобачевского представляется внутренностью круга (черт.34), прямые – хордами (с исключенными концами, поскольку рассматривается только внутренность круга).

Пусть на проективной плоскости введены проективные координаты и задана некоторая овальная линия второго порядка, обозначаемая дальше буквой k, например .

Каждое проективное отображение проективной плоскости на себя, которое оставляет на месте линию k, называется автоморфизмом относительно k. Каждый автоморфизм отображает внутренние точки линии k также во внутренние её точки. Множество всех автоморфизмов относительно линии k составляет группу. Пусть рассматриваются только точки проективной плоскости, лежащие внутри k; хорды линии k называются «прямыми». Две фигуры пусть считаются равными, если одна из них переводится в другую некоторым автоморфизмом. Так как автоморфизмы составляют группу, то имеют место основные свойства равенства фигур: если фигура А равна фигуре В, то В равна А; если фигура А равна фигуре В, а В равна фигуре С, то А. равна С.В получаемой т. о. геометрические теории будут соблюдены требования всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных: вместо этой последней аксиомы соблюдается аксиома о параллельных Лобачевского (см. рисунок). Тем самым получается истолкование (двумерной) геометрии Лобачевского при помощи объектов проективной плоскости или, как говорят, проективная модель геометрии Лобачевского; линию k называют абсолютом этой модели. Автоморфизмы относительно k играют роль движений.

Цели и задачи курса геометрии основной школы.

Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей:

• овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

• интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность к преодолению трудностей;

• формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

• воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса.

В соответствии с целью формируются задачи учебного процесса: систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин (физика, черчение и т.д.) и курса стереометрии в старших классах.

Курс характеризуется рациональным сочетанием логической строгости и геометрической наглядности. Увеличивается теоретическая значимость изучаемого материала, расширяются внутренние логические связи курса, повышается роль дедукции, степень абстрактности изучаемого материала. Учащиеся овладевают приёмами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач. Систематическое изложение курса позволяет начать работу по формированию представлений учащихся о строении математической теории, обеспечивает развитие логического мышления школьников. Изложение материала характеризуется постоянным обращением к наглядности, использованием рисунков и чертежей на всех этапах обучения и развитием геометрической интуиции на этой основе. Целенаправленное обращение к примерам из практики развивает умения учащихся вычленять геометрические факты, формы и отношения в предметах и явлениях действительности, использовать язык геометрии для их описания.