7. Движения плоскости. Классификация движений. Группа движений и ее подгруппы. Обучение решению задач с помощью геометрических преобразований.

Опр1.Говорят, что преобразование пл-ти сохраняет расстояние если любая

Опр2. Движением пл-ти называют преобразование пл-ти сохраняющие расст-ие.

Свойства движения:1)Т. Два движения f и g, выполненные последовательно, дают снова движение.

Док-во: 1. Возьмём произвольные две точки плоскости X и Y, тогда движение f переводит Х в точку Х`, Y в точку Y`, при этом сохраняются расстояния: XY=X`Y`.2. Движение g переводит точки X`в X`` и Y` в Y``, при этом X`Y`=X``Y``.Тогда если выполнить послед-но два движения f и g, то точка Х перейдет в точку Х`` и точка Y – в точкуY``, при этом XY=X`Y`= X``Y``=a, т.е. получим движение.

2) Преобразование, обратное движению, также является движением.

3) При движении прямая переходит в прямую, луч- в луч, отрезок – в отрезок, при этом сохраняться порядок взаимного расположения точек, полуплоскость переходит в полуплоскость.

4) Если , то при движении f точка А переходит в А`, точка B- в точку B`, точка С в точку С, и при этом (сохр-ся отн-ие соотв-х отрезков). Следов-но, середина отрезка при движении переходит в середину отрезка.

5) Движение переводит угол в равный ему угол. След-но, взаимно перпендикулярные прямые переходят во взаимнопер-е прямые.

6)Движение парал-е прямые переводит в параллельные прямые.

Виды движений: тождественное преобразование, центральная симметрия, осевая, параллельный перенос, поворот плоскости, скользящая симметрия.

Классификация движений: (существ-т 6 типов движений):

1-го рода: поворот на угол : 1) - тождественное преобразование. 2) -центральная симметрия.3) - новый поворот . 4) параллельный перенос.

2-го рода: 5) осевая симметрия 6) скользящая симметрия

Пространство: Движение пл-ти в прост-ве ввод-ся аналог-но введения движения на пл-ти

Т.

Т. , ,

Типы(виды) движений :тождественное преобразование, парал-й перенос, центральная симм-я, сим-я отн-но пл-ти, поворот вокруг прямой, сим-я от-но прямой – поворот пространства на угол , поворот-е отраж-ие- композиция поворота и симметрии от-но пл-ти, скользящее отражение- это композиция симметрии от-но пл-ти и прал-го переноса на вектор р парал-ый плоскости, винтовое движение - композиция поворота вокруг прямой d и парал-го переноса на вектор р парал-ый d.

В основу классификации движений плоскости положено наличие инвариантных точек и инвариантных прямых.

Опр. Точка плоскости называется инвариантной (неподвижной), если при преобразовании оно переходит в себя.

Опр. Прямая называется инвариантной (неподвижной), если при преобразовании любая её точка переходит в точку этой же прямой.

Прямая, любая точка которой при преобразовании переходит в себя, называется прямой инвариантных точек. Прямая инвариантных точек является частным случаем инвариантных прямых.

Лемма Если движение g не имеет инвариантных точек, то это движение имеет, хотя бы, одну инвариантную прямую.

Доказательство:1. Пусть точка A – произвольная точка плоскости. A A₁,A A .

2. По условию леммы точки A, A , A различны (они не совпадают).

а) если А, A , A а , то очевидно, что а – инвариантная прямая.

б) если А, A , A а.

АО = O A , А О = O A .

Докажем, что прямая O О является инвариантной.

- Построим серединный перпендикуляр l к отрезку АA и серединный перпендикуляр l к отрезку A A . . Очевидно, , поэтому .

Так как , то точка прямой переходит либо в ту же точку прямой , либо в точку , симметричную точке относительно точки .

Первый случай не может иметь места, так как не имеет неподвижных точек, поэтому . Таким образом, прямая переходит в параллельную ей прямую и четырехугольник - параллелограмм.

- Найдем образ прямой O O при этом движении.

Пусть прямая m является образом прямой O O .

Так как О O A C , то образ прямой m перпендикулярен образу прямой A C . Но A C O O , то есть m совпадает с . Значит, значит , т.е. O O является инвариантной.

Лемма Если движениеg переводит луч h в себя, то это движение либо тождественное преобразование, либо отражение от некоторой прямой, содержащей луч h.

Группа движений плоскости и ее подгруппы

Пусть D – множество всех движений, рассмотренных на плоскости, и на нем задана некоторая операция « ∙ ».

Множество D является группой относительно этой операции.

Действительно:

- если движение h, g D , то h∙g D;

- если h D , то h D.

- основным инвариантом группы D является сохранение расстояний между точками.

Группа движений первого рода является подгруппой всей группы движений D. Группа движений второго рода не является подгруппой группы D, так как произведение двух движений второго рода является движением первого рода.

Теорема. Произведение двух осевых симметрий S₁ и S₂, где S S = O, есть порот плоскости вокруг т.O на угол, величина которого равна удвоенной величине угла, образованного прямыми S₁,S_2.

Теорема.(обратная теорема). Всякий поворот плоскости вокруг точки на угол α 0 можно разложить в произведение двух осевых симметрий, оси которых будут пересекаться в центре поворота и образовывать угол φ = α/2.

Теорема. Произведение двух осевых симметрий, оси которых S₁ и S₂ параллельны и различны, есть параллельный перенос на вектор p длина которого равна удвоенному расстоянию между прямыми S₁ и S₂. Теорема.(обратная теорема).Всякий параллельный перенос на вектор 0 можно разложить в виде произведения двух осевых симметрий, оси S и S которых параллельны и = .

Теорема. Всякое движение плоскости можно представить в виде произведения не более трех осевых симметрий. Если движение не разлагается в произведение, значит, оно есть осевая симметрия.

Методика. Обучение решению задач с помощью геометрических преобразований в основной школе.

Общий прием решения задачи методом геометрического преобразования:

На этапе изучения содержания задачи уяснить взаимное расположение данных (данных и искомых) точек или фигур (или их частей и элементов);

На этапе анализа (поиска решения) – в предположении, что задача решена, сделать (если нужно) эскиз, установить связи между данными задачи и искомыми (точками, фигурами, их элементами или свойствами), выбрать геометрическое преобразование, которое позволит обосновать наличие того или иного отношения между объектами (точками, фигурами).

Указать (или выполнить) выбранное преобразование так, чтобы один объект переходил в другой (или построить вспомогательную фигуру)

В задаче на доказательство – обосновать наличие указанного отношения между объектами с помощью свойств выбранного преобразования;

Задачи с геометрическими преобразованиями учащиеся встречают на разных этапах обучения:

1) в 5-6 классах изучаются отдельные виды преобразований, такие как осевая и центральная симметрия; на этом этапе от учащихся требуется умение строить образ точки (фигуры) при осевой, либо центральной симметрии, находить центр, либо ось симметрии;

2) в 7-9 классах начинается систематическое изучение всех видов геометрических преобразований; на этом этапе учащиеся должны знать определение каждого вида преобразования, его свойства, уметь решать задачи.