14. Геометрические построения на плоскости (аксиоматика, схема решения задач, основные построения, признак разрешимости задач, методы геометрических построений). Методика.

Конструктивная геометрия - раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения.

Аксиомы конструктивной геометрии:

А1. Каждая данная фигура F построена.

А2. Если построены фигуры F1 и F2, то построено и объединение этих фигур.

А3. Если: F1 и F2 построены, то можно установить является ли их пересечение пустым множеством или нет. Если пересечение данных фигур не пусто, то оно построено.

А4. Если F1 и F2 построены и F1  F2, F1  F2, то построено F2\F1.

А5. Можно построить точку, принадлежащую данной фигуре.

А6. Можно построить точку, не принадлежащую данной фигуре (если она не совпадает со всей плоскостью).

А1 – А6 - общие аксиомы конструктивной геометрии (пользуются при решении задач с использованием любых средств построения).

В классической теории геометрических построений на плоскости средствами построения являются циркуль и линейка.

А7. Если А и В (А  В) построены, то можно построить луч АВ (аксиома линейки).

А8. Если построены точка О и отрезок АВ, то можно построить окружность  (О, АВ) (аксиома циркуля).

Аксиомы А1 – А8 называются системой аксиом построения с помощью циркуля и линейки. Эта система аксиом позволяет выполнить на плоскости простейшие построения:

П1. Построить отрезок АВ, если А и В построены.

П2. Построить прямую АВ, если А и В построены.

П3. Построить точку пересечения двух данных непараллельных прямых.

П4. Построить точки пересечения данных прямой и окружности, если они существуют.

Структура задачи на построение:

Условия – заданные элементы искомой фигуры или совокупности фигур и их характеристики.

Требования – искомая фигура (совокупность фигур) с указанными свойствами.

Инструменты, с помощью которых можновыполнить требуемые построения.

Решение задачи на построение мы сводим к перечисленным аксиомам и простейшим построениям П1-П4.

Сущность задачи на построение состоит в построении заданной геометрической фигуры с помощью линейки и циркуля, решенных ранее задач на построение или постулатов. Задача на построение считается решенной, если она сводится к конечному числу этих простейших задач – постулатов.

Перечислим эти, так называемые, основные построения:

О1. Построение отрезка, равного данному.

О2. Построение угла, равного данному.

О3. Деление отрезка пополам (построение середины отрезка).

О4. Деление угла пополам (построение биссектрисы угла).

О5. Построение перпендикуляра к данной прямой, проходящей через данную точку

О6. Построение прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.

О7. Построение треугольника по трем сторонам.

О8. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

О9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

О10. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу

О11. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

О12. Построение касательной к данной окружности, проходящей через данную точку.

Решить задачу на построение - это значит указать такую конечную последовательность основных (ОП), после выполнения которых искомая фигура может считаться построенной в силу общих аксиом конструктивной геометрий.

Этапы решения задач на построение:

Анализ – осуществление поиска решения задачи классическими методами восходящего анализа, указание способа построения искомой фигуры.

Построение – последовательное выполнение с помощью циркуля и линейки и на основе аксиом и простейших построений.

Доказательство – обоснование того, что построенная фигура соответствует требованиям.

Исследование – ответ на вопрос: всегда ли задача имеет решение, если да, то, сколько и есть ли частные случаи, требующие особого рассмотрения.

Методы геометрических построений

Суть любого из методов геометрических построений – построение в конечном счете отдельных точек, которыми определяется данная фигура.

1) Метод пересечений. ГМТ (геометрическое место точки) – множество точек пространства (фигуры), выделяемых из всех точек пространства по каким – либо признакам (свойствам).Например: прямая; биссектриса угла; серединный перпендикуляр.

Суть метода пересечений Пусть нужно построить точку Х, удовлетворяющую двум данным условиям, и F1 и F2 – множество точек, удовлетворяющих каждому из условий в отдельности, тогда искомая точка Х – точка пересечения множеств F1 и F2.Например: построение серединного перпендикуляра;биссектрисы угла;точки, равноудаленной от сторон угла и т.п.

2)Метод преобразований (подобия, симметрии, параллельного переноса и т.п.) Суть метода: Первоначально вместо искомой фигуры строится вспомогательная фигура, которую легче построить, заменяя или отбрасывая при этом одно из условий. Затем с помощью каких -либо геометрических преобразований вспомогательная фигура или ее часть преобразуются в искомую фигуру. Например: построение треугольника по двум углам и биссектрисе третьего угла; построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и отношению катетов и т.п.

3) Координатный метод. Суть: построение точки через определение ее положения на плоскости с помощью чисел (координат) или фигур с помощью их уравнений. Например:- построение треугольника по координатам вершин;- построение треугольника, вершинами которого являются точки попарного пересечения трех прямых, заданных уравнениями.

4) Алгебраический метод. Суть: использование соотношений между простейшими фигурами как элементами более сложных фигур. Например: построение отрезка, являющегося средними геометрическими двух других отрезков.

5) Метод оригами. Метод оригами - практический метод, основанный на перегибании (реальном или мысленном). Решение задачи методом оригами бывают часто более наглядными и понятными. Некоторые задачи, решаемые методом оригами, имеют решение с помощью циркуля и линейки (например, деление угла на три равных части).

Методика:

Роль задач на построение в школьном курсе: способствует развитию воображения школьников; развивает конструктивные способности учащихся и закрепляют соответствующие чертежные навыки; анализ и исследование полученного решения содействует развитию логического мышления школьников, в частности – мыслительных операций: анализа, синтеза, абстрагирования; пробуждают их инициативу; способствует прочному закреплению теоретического материала курса.

Во всех действующих учебниках по геометрии задачи на построение рассматриваются как самостоятельные в конце 7-го класса. Кроме учебника В.А.Гусева, где геометрию начинают изучать с 5-го класса. Задачи на построение в этом учебнике рассматриваются в конце 6-го или в начале 7-го класса.

7 класс. Здесь учащиеся встречаются с основным требованием, предъявляемым к геометрическим чертежам – все построения должны выполняться только при помощи циркуля и линейки. Это требование вытекает из двух постулатов Евклида в «Началах»: а) от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; б) из всякого центра любым раствором циркуля можно описать круг. При этом возникает необходимость доказательства того, что построенная фигура удовлетворяет требованиям задачи. В 7 классе учащиеся знакомятся с элементарными задачами на построение, построение окружности, вписанной и описанной около треугольника; кроме того, учащиеся усваивают первый общий метод решения задач на построение – метод геометрических мест (метод пересечений).

8 класс. В теме «Четырехугольники» решаются соответствующие задачи на построение методом геометрических мест; в теме «Движения» – используются все виды движения для решения задач на построение; в теме «Декартовы координаты на плоскости» рассматриваются построения на координатной плоскости (построение прямой, окружности, точек пересечения).

9 класс. В теме «Подобные фигуры» - задачи на построение с использованием гомотетии и преобразования подобия; в теме «Правильные многоугольники» – задачи на построение вписанных и описанных правильных многоугольников.

(10-11 классы). В стереометрии рассматриваются два вида геометрических построений: а) воображаемые построения, основывающиеся только на аксиомах стереометрии; б) построения на проекционном чертеже, когда указываются кроме точек фигуры их проекции на проекционной плоскости.