2. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Теорема 1: (Первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на нем. Необходимо доказать, что существует M>0 , что для всех 𝑥∈[𝑎,𝑏]  выполняется |𝑓(𝑥)|≤𝑀. Доказательство (от противного). Пусть для всякого M>0 найдется такая точка  𝑥𝑀∈[а,𝑏] , что |𝑓(𝑥𝑀)|>𝑀 : для M=1 найдется 𝑥1∈[𝑎,𝑏] , что |𝑓(𝑥1)|>1; для M=2 найдется  𝑥2∈[𝑎,𝑏] , что |𝑓(𝑥2)|>2  и т. д., для M=n  найдется 𝑥𝑛∈[𝑎,𝑏] , что |𝑓(𝑥𝑛)|>𝑛;  и т. д., Итак, построена последовательность {𝑥𝑛}∁[𝑎,𝑏]  такая, что для всех n: |𝑓(𝑥𝑛)|>𝑛. Ясно, что 𝑓(𝑥𝑛)→∞. Последовательность {𝑥𝑛}∁[𝑎,𝑏] , т. е. ограничена. Следовательно, по теореме Больцано - Вейерштрасса, существует подпоследовательность {𝑥𝑛𝑘}∁{𝑥𝑛}  такая, что 𝑥𝑛𝑘→𝛼∈[𝑎,𝑏]. Так как функция f непрерывна на отрезке [𝑎,𝑏], она непрерывна и в точке 𝛼∈[𝑎,𝑏]. Итак, имеем 𝑓(𝑥𝑛𝑘)→𝑓(𝛼), но по построению 𝑓(𝑥𝑛𝑘)→∞ , что является противоречием.

Теорема 2: Функция, непрерывная на отрезке [a,b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Т.е. существуют такие значения 𝑥1 и 𝑥2, что 𝑓(𝑥1)=𝑚, 𝑓(𝑥2=𝑀), причем 𝑚≤𝑓(𝑥)≤𝑀. Теорема 3: Если функция f непрерывна на отрезке [a,b] и числа f(a)  и f(b) не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале (a,b) имеется по крайней мере одна точка c такая, что f(c)=0. Следствие: (Вторая теорема Больцано - Коши). Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна на отрезке [a,b], f(a)=А, f(b)=B , причемA<B , и C -- произвольное число такое, что A< C < B, то на интервале(a,b) найдется по крайней мере одна точка с∈[𝑎,𝑏] , в которой f(c) = C  (т. е. непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка).

Теорема 4: Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна в точке x=x0 , то существует некоторая окрестность точки x0 , в которой функция сохраняет знак. Теорема 5: (Первая теорема Больцано - Коши). Если функция f(x)  - непрерывная на отрезке [a,b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x)=0. Теорема 6: Теорема Кантора. Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.) Теорема 7: Если функция f(x)   определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция x=g(y)  тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

3. Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости (критерий Коши). Теорема о пределе монотонной последовательности. Понятие последовательности в школьном курсе математики и методика его изучения.

Числовой последовательность- бесконечное множество чисел   (1)следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого   задается как функция целочисленного аргумента,   т.е.   .Число А-предел последовательности (1), если для любого    существует число   , такое, что при   выполняется неравенство   . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут .Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность   называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:         . критерий Коши. Для того чтобы последовательность имела конечный предел (сходилась), необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной (удовл.критерию Коши).Необходимость.Пусть последовательность имеет конечный предел. Положим его равным  . По определению предела      такое, что   и выполняется неравенство    . Пусть  , тогда  . Пусть  , тогда  . В силу неравенства для модуля суммы (разности), получаем    . Следовательно, для любого   и для любого   выполняется неравенство  , т. е. выполняется условие Коши. Достаточность. Пусть   — фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фундаментальной последовательности             выполняется неравенство  . Так как фундаментальная последовательность   является ограниченной, то, по теореме Больцано-Вейерштрасса , она содержит сходящуюся подпоследовательность  . Пусть ее предел равен  , т. е.  . Покажем, что число   является пределом исходной последовательности  . По определению предела :           . Пусть  . Фиксируем  номер   (такой номер найдется, так как   при   ). Тогда при   и при всех    выполняется неравенство  . Из этого следует, что при всех    справедливо неравенство:       т. е.  .

Теорема Вейерштрасса (о пределе монотонной ограниченной последовательности)Если последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, то:  .Аналогично для убывающей и ограниченной снизу последовательности: 

Док-во:  Докажем, что точная верхняя граница   для последовательности и будет ее пределом.Действительно, по определению точной верхней границы:    .Кроме того, какое бы ни взять число  , найдется такой номер  , что  .Так как последовательность монотонна, то при  :  , а значит, и   и выполняются неравенства:   откуда и следует, что  .