Вариант №23

1. Партия содержит 12 изделий, из которых половину подвергают контролю. Найти вероятность того, что среди них будет обнаружено ровно два бракованных изделия, если число бракованных изделий во всей партии равно три.

2. Прибор состоит из 3‑х независимо работающих узлов, каждый из которых может в течение времени t выйти из строя. Вероятность безотказной работы за время t первого узла равна p₁= 0,8; второго —p₂=

= 0,9; третьего —p₃= 0,7. Найти вероятность того, что за время t выйдут из строя ровно 2 узла; хотя бы 1 узел; все 3 узла.

3. Найти вероятность отказа функциональной цепи, изображенной на рисунке, если вероятность надежной работы каждого элемента одна и та же и равна p = 0,93.

┌─────┐ ┌─┤ 2 ├─┐ │ └─────┘ │ ┌───┤ ├───┐ ┌─────┐ │ │ ┌─────┐ │ │ ┌─────┐ ──┤ 1 ├─┤ └─┤ 3 ├─┘ ├─┤ 4 ├── └─────┘ │ └─────┘ │ └─────┘ │ │ │ ┌─────┐ ┌─────┐ │ └─┤ 5 ├─┤ 6 ├─┘ └─────┘ └─────┘

4. В 4‑х урнах белые и черные шары, одинаковые на ощупь. В первой —3 белых и 1 черный шар, во второй —6 белых и 4 черных, в третьей —

9 белых и 1 черный, в четвертой —2 белых и 5 черных. Из наудачу выбранной урны случайным образом вынимается один шар. Найти вероятность того, что он белый.

5. Из большой партии деталей отбирают для контроля 10 штук. Доля нестандартных деталей во всей партии составляет 15%. Найти вероятность того, что не более 2‑х деталей окажутся стандартными.

6. Из партии деталей отобраны для контроля 800 штук. Известно, что доля нестандартных деталей во всей партии составляет 25%. Найти вероятность того, что не менее 650 деталей окажутся стандартными; ровно 650 деталей окажутся стандартными.

7. Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей будет не менее трех бракованных.

8. Устройство состоит из 3‑х элементов, работающих независимо. Вероятность отказа в одном испытании равна 0,15. Составить закон распределения дискретной случайной величины X —числа отказавших элементов в одном испытании. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.

9. Функция плотности распределения f(x) случайной величины X задана графически.

f (x) 1 0 2 x

Найти выражение для f(x), найти функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(0<X<0,5). Построить график функции распределения и показать на нём и на графике функции плотности распределения f(x) математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X).

10. На станке изготавливается деталь. Ее длина X —случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: a = 2500 см,

 = 2 см. Найти вероятность того, что длина детали заключена между 2497 и 2504 см. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,85, 0,95? В каких пределах будут лежать практически все размеры деталей?

11. На основе данных о результатах измерений веса 49‑ти пачек макарон “Vegeta”сформировать таблицу значений относительных частот для

No	P[гр]	No	P[гр]	No	P[гр]	No	P[гр]	No	P[гр]
1	898	11	909	21	913	31	917	41	921
2	901	12	910	22	914	32	917	42	922
3	903	13	910	23	914	33	918	43	923
4	904	14	911	24	915	34	918	44	924
5	905	15	911	25	916	35	919	45	925
6	906	16	911	26	916	36	919	46	926
7	907	17	912	27	916	37	920	47	927
8	908	18	912	28	916	38	920	48	928
9	908	19	913	29	917	39	920	49	930
10	909	20	913	30	917	40	921

для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 7 равноотстоящих частичных интервалов.

12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.

13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.

14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.

15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.

16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.

17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы

nij		X
		4	9	14	19	24	29
Y	10	2	3
	20		7	3
	30			2	50	2
	40			1	10	6
	50				4	7	3