Вариант №24

1. В коробке находится 6 деталей первого сорта, 7 —второго и 4 третьего сорта. Найти вероятность того, что среди выбранных случайным образом 8-ми деталей окажутся 3 детали первого сорта, 3 —детали второго сорта и 2 —третьего.

2. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,9, второй —0,85, третий —0,8. Найти вероятность того, что при аварии сработают какие-либо два сигнализатора; все три.

3. Вероятности работы каждого из элементов функциональной цепи равны соответственно p₁= 0,95, p₂= 0,93, p₃= 0,9 и p₄= p₅= 0,85. Определить какая из двух электрических цепей более надежна.

┌───┐┌───┐ ┌───┐ ┌┤ 2 ├┤ 3 ├┐ ┌┤ 3 ├┐ ┌───┐│└───┘└───┘│ │└───┘│┌───┐┌───┐ ──┤ 1 ├┤ ├── ──┤ ├┤ 1 ├┤ 2 ├── └───┘│┌───┐┌───┐│ │┌───┐│└───┘└───┘ └┤ 4 ├┤ 5 ├┘ └┤ 4 ├┘ └───┘└───┘ └───┘

4. В телеателье имеются 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы соответственно равны 0,2, 0,85, 0,9, 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

5. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 18. Найти вероятность того, что лицо, имеющее 6 билетов, выиграет не более, чем по двум билетам.

6. Контролируется работа каждого из 100 узлов устройства. Вероятность того, что узел окажется неисправным, равна 0,2. Найти вероятность того, что не менее 70‑ти узлов окажутся исправными; ровно 70 узлов окажутся исправными.

7. Вероятность нарушения герметичности баллона равна 0,005.Найти вероятность того, что среди 600 баллонов окажется хотя бы один негерметичный; менее двух негерметичных.

8. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X —числа стандартных деталей среди отобранных. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.

9. Функция плотности распределения f(x) случайной величины X  задана графически. Найти

f(x) 1 -2 0 x

выражение для f(x), найти функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(-1<X<0). Построить график функции распределения и показать на нём и на графике функции плотности распределения f(x) математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X).

10. Диаметр изготавливаемой в цехе партий деталей является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a = 80 мм,  = 0,2 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали составит от 79,7 до 80,3 мм. С какой вероятностью он отличается от математического ожидания не более, чем на 0,5 мм? Какое отклонение диаметра детали от математического ожидания можно гарантировать с вероятностью 0,91? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?

11. На основе данных о результатах определения уровня гипертимии (самоуверенности) у 50‑ти подростков сформировать таблицу значений

No	О+[б/р]	No	О+[б/р]	No	О+[б/р]	No	О+[б/р]	No	О+[б/р]
1	0,36	11	0,79	21	1,13	31	1,47	41	1,76
2	0,48	12	0,83	22	1,14	32	1,51	42	1,82
3	0,52	13	0,91	23	1,15	33	1,53	43	1,93
4	0,56	14	0,94	24	1,18	34	1,55	44	1,97
5	0,60	15	0,95	25	1,25	35	1,57	45	1,99
6	0,64	16	0,97	26	1,28	36	1,60	46	2,01
7	0,70	17	0,99	27	1,30	37	1,68	47	2,05
8	0,73	18	1,02	28	1,31	38	1,71	48	2,17
9	0,74	19	1,10	29	1,32	39	1,72	49	2,22
10	0,76	20	1,12	30	1,35	40	1,73	50	2,34

относительных частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 6 равноотстоящих частичных интервалов.

12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.

13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.

14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.

15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.

16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.

17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы

nij		X
		15	18	20	24	30	36
Y	5					3	3
	10				4	5
	15		2	40	8	2
	20	8	2	10
	25	9	12	4