Вариант №50
1. В партии из 15‑ти изделий есть пять бракованных. Семь наудачу выбранных изделий подвергаются контролю. Найти вероятность того, что среди проверяемых изделий будет обнаружено ровно два бракованных.
2. В коробке лежат 12 белых и 8 красных шаров, одинаковых на ощупь. Вынули 8 шаров. Какова вероятность того, что красных шаров вынуто не более двух?
3. Найти вероятность надежной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность выхода из строя каждого элемента одинакова и равна q = 0,3.
┌─────┐ ┌─┤ 2 ├─┐ │ └─────┘ │ ┌─────┐ ┌─┤ ├──┤ 4 ├───┐ │ │ ┌─────┐ │ └─────┘ │ │ └─┤ 3 ├─┘ │ ┌─────┐ │ └─────┘ │ ──┤ 1 ├─┤ ┌─────┐ ├─── └─────┘ │ ┌─────┤ 5 ├─────┐ │ │ │ └─────┘ │ │ └────┤ ├─┘ │ ┌─────┐ ┌─────┐ │ └─┤ 6 ├─┤ 7 ├─┘ └─────┘ └─────┘
4. В 4‑х урнах белые и черные шары, одинаковые на ощупь. В первой —3 белых и 1 черный шар, во второй —6 белых и 4 черных, в третьей —
9 белых и 1 черный, в четвертой —2 белых и 5 черных. Из наудачу выбранной урны случайным образом вынимается один шар. Найти вероятность того, что он белый.
5. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 18. Найти вероятность того, что лицо, имеющее 6 билетов, выиграет не более, чем по двум билетам.
6. На заводе-автомате 800 станков. Вероятность отказа каждого из них 0,1. Найти вероятность того, что в данный момент времени работает не менее 700 станков; ровно 700 станков.
7. Вероятность нарушения герметичности баллона равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 500 баллонов окажется более трех негерметичных баллонов.
8. В комплекте 20% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины X‑числа стандартных деталей среди отобранных. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.
9. Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность попадания X в интервал (3,5; 3,9). Построить графики плотности и функции распределения и на показать них M(X) и (X).
10. На станке изготавливается деталь. Ее длина X - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: a = 500 см,
= 1 см. Найти вероятность того, что длина детали заключена между 498 см и 501 см. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,9; 0,99? В каких пределах будут лежать практически все размеры деталей?
11. На основе данных о результатах 47‑ми измерений диаметра отливки
No |
D[мм] |
No |
D[мм] |
No |
D[мм] |
No |
D[мм] |
No |
D[мм] |
1 |
144,1 |
11 |
145,0 |
21 |
145,3 |
31 |
145,5 |
41 |
145,9 |
2 |
144,4 |
12 |
145,1 |
22 |
145,3 |
32 |
145,5 |
42 |
145,9 |
3 |
144,5 |
13 |
145,1 |
23 |
145,4 |
33 |
145,5 |
43 |
145,9 |
4 |
144,6 |
14 |
145,1 |
24 |
145,4 |
34 |
145,6 |
44 |
146,0 |
5 |
144,7 |
15 |
145,2 |
25 |
145,4 |
35 |
145,6 |
45 |
146,0 |
6 |
144,7 |
16 |
145,2 |
26 |
145,4 |
36 |
145,6 |
46 |
146,1 |
7 |
144,8 |
17 |
145,2 |
27 |
145,4 |
37 |
145,6 |
47 |
146,2 |
8 |
144,9 |
18 |
145,2 |
28 |
145,4 |
38 |
145,7 |
|
|
9 |
144,9 |
19 |
145,3 |
29 |
145,4 |
39 |
145,7 |
|
|
10 |
144,9 |
20 |
145,3 |
30 |
145,5 |
40 |
145,7 |
|
|
сформировать таблицу значений относительных частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 8 равноотстоящих частичных интервалов.
12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.
13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.
14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.
15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.
16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.
17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы
-
nij
X
50
55
60
65
70
Y
30
5
5
40
6
4
50
40
15
60
5
10
70
5
80
2
3