Вариант №56
1. На стеллаже в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что из взятых учебников 2 окажутся в переплете.
2. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 16 команд, из которых случайным образом формируются 2 группы по 8 команд в каждой. Среди участников имеется 5 команд экстра-класса. Найти вероятность того, что две команды экстра-класса попадут в одну из групп, а три —в другую.
3. Вероятность надежной (безотказной) работы каждого из элементов функциональной цепи равна 0,8. Найти вероятность отказа цепи, изображенной на рисунке.
┌─────┐ ┌─┤ 2 ├─┐ │ └─────┘ │ ┌───┤ ├───┐ │ │ ┌─────┐ │ │ ┌─────┐ │ └─┤ 3 ├─┘ │ ┌─────┐ ───┤ 1 ├─┤ └─────┘ ├─┤ 6 ├─── └─────┘ │ │ └─────┘ │ ┌─────┐ ┌─────┐ │ └─┤ 4 ├─┤ 5 ├─┘ └─────┘ └─────┘
4. В двух урнах находится шары: в первой 14 красных и 6 зеленых; во второй 15 красных и 8 зеленых. Из первой урны последовательно один за другим вынуты 2 шара и переложены во вторую. Затем из второй урны извлекаются наудачу один шар. Какова вероятность того, что шар зеленый.
5. Вероятность того, что наудачу взятая деталь из партии стандартна, равна 0,92. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу шести деталей не менее двух окажутся нестандартными.
6. Вероятность выхода из строя каждого из 900 независимо работающих элементов некоторого узла в течение 300 часов равна 0,1. Найти вероятность того, что по истечении этого времени будут работать 70 элементов; будут работать не менее 70 элементов.
7. Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что будет повреждено не более трех изделий.
8. На складе имеются 8 покрышек, из них 3 —изношенных. Наудачу отобраны 3 покрышки. Составить закон распределения дискретной случайной величины X —числа годных покрышек среди отобранных. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.
9. Плотность вероятностей случайной величины X равна
Найти коэффициент c, интегральную функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(0,5<X<1). Построить графики плотности и функции распределения и на показать них математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение (X).
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a=125 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 121,4<X<128,6 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 123,2 мм. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,98? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины всех деталей?
11. На основе данных о результатах 49‑ти измерений содержания солода в пиве “Балтика”No6 сформировать таблицу значений относительных
No |
c[%] |
No |
c[%] |
No |
c[%] |
No |
c[%] |
No |
c[%] |
1 |
3,5 |
11 |
8,2 |
21 |
9,6 |
31 |
10,6 |
41 |
12,1 |
2 |
4,5 |
12 |
8,4 |
22 |
9,7 |
32 |
10,7 |
42 |
12,3 |
3 |
5,8 |
13 |
8,6 |
23 |
9,8 |
33 |
10,8 |
43 |
12,5 |
4 |
6,2 |
14 |
8,8 |
24 |
9,9 |
34 |
10,9 |
44 |
12,7 |
5 |
6,8 |
15 |
9,0 |
25 |
10,0 |
35 |
11,0 |
45 |
12,9 |
6 |
7,2 |
16 |
9,1 |
26 |
10,1 |
36 |
11,2 |
46 |
13,8 |
7 |
7,4 |
17 |
9,2 |
27 |
10,2 |
37 |
11,4 |
47 |
14,5 |
8 |
7,6 |
18 |
9,3 |
28 |
10,3 |
38 |
11,6 |
48 |
15,3 |
9 |
7,8 |
19 |
9,4 |
29 |
10,4 |
39 |
11,8 |
49 |
15,9 |
10 |
8,0 |
20 |
9,5 |
30 |
10,5 |
40 |
12,0 |
|
|
частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 6 равноотстоящих частичных интервалов.
12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.
13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.
14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.
15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.
16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.
17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы
-
nij
X
6
12
18
24
30
36
Y
5
3
3
10
4
5
15
2
40
8
20
6
10
5
6
25
3
7
4