Вариант №31

1. В урне 4 черных, 6 белых и 5 красных шаров. Наудачу извлечены 7 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажутся 2 черных, 3 белых и 2 красных шара.

2. В поисках нужной книги студент опрашивает 3‑х товарищей. Вероятности получить нужную книгу у 1‑го, 2‑го, 3‑го товарищей соответственно равны 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность того, что студент получит книгу у одного из товарищей.

3. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента равна p = 0,9.

┌─────┐ ┌─────┐ ┌──┤ 1 ├──┐ ┌──┤ 3 ├──┐ │ └─────┘ │ │ └─────┘ │ ┌──┤ ├───┤ ├──┐ │ │ ┌─────┐ │ │ ┌─────┐ │ │ │ └──┤ 2 ├──┘ └──┤ 4 ├──┘ │ ────┤ └─────┘ └─────┘ ├──── │ │ │ ┌─────┐ ┌─────┐ ┌─────┐ │ └──┤ 5 ├────┤ 6 ├────┤ 7 ├──┘ └─────┘ └─────┘ └─────┘

4. В первой урне 10 шаров, из них 8 белых; во второй —20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров взяли один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

5. Вероятность выхода из строя каждого из 9 независимо работающих элементов некоторого узла равна 0,1. Найти вероятность того, что будут работать не менее 7 элементов.

6. Автотранспортное предприятие имеет 480 автобусов. Вероятность выхода на линию каждого автобуса равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы предприятия в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 380 автобусов, ровно 380 автобусов.

7. Коммутатор учреждения обслуживает 200 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение минуты позвонят более двух абонентов.

8. Написать закон распределения дискретной случайной величины X —числа появлений герба при 4‑х бросаниях монеты. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.

9. Плотность вероятностей случайной величины X равна

Найти коэффициент a, интегральную функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(0<X<23). Построить графики плотности и функции распределения и на показать них математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение (X).

10. Диаметр детали —случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: a = 60 мм,  = 0,09 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой из партии детали составит от 59,8 мм до 60,2 мм; отличается от a не более, чем на 0,06 мм? Какое отклонение диаметра детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,95? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры практически всех изготовленных деталей?

11. На основе данных о результатах измерений роста у 50‑ти детей 7‑ми лет женского пола сформировать таблицу значений относительных час-

No	H[см]	No	H[см]	No	H[см]	No	H[см]	No	H[см]
1	97	11	113	21	121	31	127	41	145
2	99	12	113	22	121	32	129	42	146
3	101	13	114	23	122	33	131	43	148
4	103	14	114	24	122	34	132	44	152
5	104	15	115	25	123	35	133	45	154
6	105	16	116	26	124	36	135	46	160
7	107	17	117	27	125	37	137	47	164
8	109	18	118	28	125	38	139	48	166
9	111	19	119	29	126	39	141	49	168
10	112	20	120	30	126	40	143	50	170

тот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 7 равноотстоящих частичных интервалов.

12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.

13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.

14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.

15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.

16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.

17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы

nij		X
		5	8	11	14	17	20
Y	5	2	4
	10		6	2		3
	15			3	50	2
	20			1	10	6	7
	25				4	7	3