Вариант №25

1. В ящике лежат 5 красных, 7 синих и 6 зеленых шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу извлекаются 6 шаров. Какова вероятность того, что будут вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара?

2. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно.

3. Вероятность выхода из строя каждого элемента функциональной схемы равна p = 0,05. Определить, какая из двух электрических цепей надежнее.

┌───┐ ┌───┐┌───┐ ┌───┐ ┌───┐ ┌┤ 1 ├┐ ┌┤ 3 ├┤ 4 ├┐ ┌┤ 1 ├┐ ┌┤ 4 ├┐ │└───┘│ │└───┘└───┘│ │└───┘│ ┌───┐ │└───┘│ ──┤ ├─┤ ├── ──┤ ├─┤ 3 ├─┤ ├── │┌───┐│ │┌───┐┌───┐│ │┌───┐│ └───┘ │┌───┐│ └┤ 2 ├┘ └┤ 5 ├┤ 6 ├┘ └┤ 2 ├┘ └┤ 5 ├┘ └───┘ └───┘└───┘ └───┘ └───┘

4. В пирамиде установлены 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при первом выстреле из винтовки с прицелом равна 0,95, для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

5. Электрическая цепь состоит из 6 параллельно включенных потребителей. Вероятность отказа каждого из них равна 25, а взаимное влияние в цепи отсутствует. Найти вероятность того, что откажет не менее половины потребителей.

6. На заводе-автомате 800 станков. Вероятность отказа каждого из них 0,1. Найти вероятность того, что в данный момент времени работает не менее 700 станков; ровно 700 станков.

7. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. Найти вероятность того,что за время t откажут более двух элементов.

8. Устройство состоит из 4‑х элементов, работающих независимо. Вероятность надежной работы каждого элемента в одном испытании равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины X —числа отказавших элементов в одном опыте. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.

9. Функция плотности распределения f(x) случайной величины X  задана графически. Найти

f(x) 1 -1 1 x

выражение для f(x), найти функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(0<X<0,5). Построить график функции распределения и показать на нём и на графике функции плотности распределения f(x) математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X).

10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a = 1960 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 1954 мм и не более 1966 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 1961 мм. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,91? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?

11. На основе данных о результатах анализа эффективности работы 47‑ми предприятий города по изменению реальной заработной платы каждого работающего в отчетном году (в % к предыдущему году) сформировать

No	Эр[%]	No	Эр[%]	No	Эр[%]	No	Эр[%]	No	Эр[%]
1	91	11	100	21	102	31	104	41	108
2	93	12	100	22	102	32	104	42	109
3	95	13	101	23	103	33	105	43	109
4	96	14	101	24	103	34	105	44	110
5	97	15	101	25	103	35	106	45	111
6	97	16	101	26	103	36	106	46	112
7	97	17	101	27	103	37	106	47	113
8	97	18	102	28	103	38	107
9	98	19	102	29	104	39	107
10	98	20	102	30	104	40	107

таблицу значений относительных частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 7 равноотстоящих частичных интервалов.

12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.

13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.

14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.

15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.

16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.

17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы

nij		X
		10	15	20	25	30	35
Y	30	2	6
	40		4	4
	50			7	35	8
	60			2	10	8
	70				5	6	3