Вариант №42

1. У сборщика имеется 10 деталей, мало отличающихся по внешнему виду. Из них 6 деталей первого сорта, а 4 —второго. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых 5‑ти деталей окажутся три первого сорта?

2. Вероятность того, что нужная сборщику деталь содержится в 1‑ом, 2‑ом, 3‑ем или 4‑ом ящиках соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что нужная сборщику деталь находится не более, чем в двух ящиках.

3. Какая из двух функциональных схем надежнее, если вероятность выхода из строя каждого отдельного элемента схемы равна 0,1?

┌───┐ ┌─┤ 2 ├─┐ ┌───┐ ┌───┐ │ └───┘ │ ┌┤ 1 ├┐ ┌┤ 3 ├┐ ┌───┐ │ ┌───┐ │ ┌───┐ │└───┘│ │└───┘│ ┌───┐ ──┤ 1 ├─┼─┤ 3 ├─┼─┤ 5 ├─ ──┤ ├─┤ ├─┤ 5 ├── └───┘ │ └───┘ │ └───┘ │┌───┐│ │┌───┐│ └───┘ │ ┌───┐ │ └┤ 2 ├┘ └┤ 4 ├┘ └─┤ 4 ├─┘ └───┘ └───┘ └───┘

4. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления стандартной детали для станка №1 равна 0,96, а для станка №2 —0,92. Детали складываются в одном месте, причем станок №1 изготавливает в 1,5 раза меньше деталей, чем станок №2. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется нестандартной.

5. Вероятность того, что наудачу взятая деталь из партии стандартна, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди шести взятых случайным образом деталей окажется не менее половины стандартных.

6. Из партии деталей отобраны для контроля 220 штук. Известно, что доля стандартных деталей во всей партии составляет 85%. Найти вероятность того, что более 190 деталей окажутся стандартными; ровно 190 деталей окажутся стандартными.

7. Аппаратура содержит 2000 независимых элементов. Вероятность отказа каждого из них равна p=0,0005. Какова вероятность отказа хотя бы одного элемента; менее трех элементов?

8. В партии 15% нестандартных деталей. Наудачу отобраны три детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины X —числа стандартных деталей среди отобранных. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.

9. Функция плотности распределения f(x) случайной величины X  задана графически. Найти

f(x) f(x)= x+0,5 0,5 -β 0 x	 и , записать выражение для f(x), найти функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(-3<X<0). Построить график функции распределения и показать на нём и на графике функции плотности распределения
f(x) математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X).

10. Диаметр изготовляемой в цехе партии деталей является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами:

a = 45 мм, = 0,1 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали составляет от 44,8 до 45,1 мм, отличается от a не более, чем на 0,15 мм. Какое отклонение диаметра детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,96? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?

11. На основе данных о результатах анализа эффективности работы 49‑ти предприятий области по величине выработки на одного рабочего в отчетном году (в % к предыдущему году) сформировать таблицу значений

No	Эр[%]	No	Эр[%]	No	Эр[%]	No	Эр[%]	No	Эр[%]
1	82	11	98	21	104	31	110	41	117
2	84	12	99	22	104	32	110	42	118
3	86	13	100	23	105	33	111	43	120
4	88	14	100	24	105	34	111	44	121
5	91	15	101	25	106	35	112	45	122
6	93	16	102	26	107	36	113	46	125
7	94	17	102	27	107	37	114	47	127
8	95	18	102	28	108	38	114	48	129
9	96	19	103	29	108	39	115	49	132
10	97	20	103	30	109	40	115

относительных частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 8 равноотстоящих частичных интервалов.

12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.

13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.

14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.

15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.

16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.

17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы

nij		X
		15	20	25	30	35	40
Y	5	4	2
	8		6	4
	11			6	45	2
	14			2	3	6
	17				4	7	4