Вариант №57
1. Колода из 36‑ти карт делится наугад на две равные части. Найти вероятность, что в каждой части окажется по два туза.
2. Устройство состоит из 4‑х независимых узлов. Вероятность отказа первого узла равна 0,1, второго —0,12, третьего —0,15 и четвертого —0,2. Найти вероятность надежной работы двух узлов из четырёх; трех узлов из четырёх.
3. Вероятности безотказной работы каждого из элементов электрической цепи, показанной на рисунке, равны соответственно: p1= p2= 0,95; p3= p4= p5= 0,9; p6= 0,85. Найти вероятность отказа цепи.
┌─────┐ ┌─────┐ ┌┤ 1 ├─┤ 2 ├┐ │└─────┘ └─────┘│ ┌─────┐ ┌─┤ ├─┤ 4 ├─┐ │ │ ┌─────┐ │ └─────┘ │ ──┤ └────┤ 3 ├────┘ ├── │ └─────┘ │ │ ┌─────┐ ┌─────┐ │ └─────┤ 5 ├───┤ 6 ├─────┘ └─────┘ └─────┘
4. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления стандартной детали для первого станка равна 0,96, а для второго станка —0,92. Детали складываются в одном месте, причем первый станок изготавливает в 1,5 раза меньше деталей, чем второй. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется нестандартной.
5. Вероятность надежной работы конструкции при приложении нагрузки равна 0,96. Найти вероятность того, что из 10 конструкций, испытанных независимо друг от друга, больше двух выйдут из строя.
6. Произведено 1000 выстрелов, вероятность попадания при одном выстреле —0,9. Найти вероятность того, что попали 900 раз; не менее 900 раз.
7. Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено ровно три изделия; менее трех изделий.
8. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек X, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.
9. Плотность вероятностей случайной величины X равна
Найти коэффициент b, интегральную функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(0<X<12). Построить графики плотности и функции распределения и на показать них математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение (X).
10. На станке изготавливается деталь. Ее длина X —случайная величина, распределенная по нормальному закону с a = 21,0 см, = 0,2 см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 20,9 и 21,1 см. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,90; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно a, будут лежать практически все размеры деталей?
11. На основе данных о результатах 50‑ти измерений времени реагирования мышечной системы на внешний раздражитель сформировать таблицу
No |
t[мс] |
No |
t[мс] |
No |
t[мс] |
No |
t[мс] |
No |
t[мс] |
1 |
4,2 |
11 |
8,4 |
21 |
11,2 |
31 |
14,4 |
41 |
17,7 |
2 |
4,8 |
12 |
8,8 |
22 |
11,6 |
32 |
14,8 |
42 |
18,2 |
3 |
5,4 |
13 |
9,0 |
23 |
11,8 |
33 |
15,1 |
43 |
18,6 |
4 |
6,2 |
14 |
9,3 |
24 |
12,2 |
34 |
15,3 |
44 |
19,0 |
5 |
6,6 |
15 |
9,6 |
25 |
12,6 |
35 |
15,7 |
45 |
19,4 |
6 |
6,9 |
16 |
9,9 |
26 |
12,9 |
36 |
15,9 |
46 |
19,8 |
7 |
7,1 |
17 |
10,2 |
27 |
13,1 |
37 |
16,4 |
47 |
20,3 |
8 |
7,3 |
18 |
10,4 |
28 |
13,4 |
38 |
16,8 |
48 |
20,9 |
9 |
7,4 |
19 |
10,6 |
29 |
13,5 |
39 |
17,0 |
49 |
21,2 |
10 |
7,8 |
20 |
10,9 |
30 |
13,8 |
40 |
17,2 |
50 |
21,7 |
значений относительных частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 7 равноотстоящих частичных интервалов.
12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.
13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.
14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.
15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.
16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.
17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы
-
nij
X
10
20
30
40
50
60
Y
30
5
10
40
15
5
50
20
80
60
5
10
35
70
5
10