Вариант №54
1. В коробке находится 6 деталей первого сорта, 7 —второго и 4 третьего сорта. Найти вероятность того, что среди выбранных случайным образом 8-ми деталей окажутся 3 детали первого сорта, 3 —детали второго сорта и 2 —третьего.
2. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно.
3. Вероятность безотказной работы каждого элемента функциональной цепи одна и та же равна p = 0,96. Найти вероятность отказа цепи.
┌─────┐ ┌─┤ 1 ├─┐ │ └─────┘ │ ┌─────┤ ├─────────────┐ │ │ ┌─────┐ │ │ │ └─┤ 2 ├─┘ │ │ └─────┘ │ ┌─────┐ ───┤ ├─┤ 7 ├── │ ┌─────┐ │ └─────┘ │ ┌─┤ 5 ├─┐ │ │ ┌─────┐ ┌─────┐ │ └─────┘ │ │ └─┤ 3 ├─┤ 4 ├─┤ ├─┘ └─────┘ └─────┘ │ ┌─────┐ │ └─┤ 6 ├─┘ └─────┘
4. В комплекте содержатся детали 3‑х типов. Известно, что деталей первого типа в 1,5 раза больше, чем деталей второго и в 2 раза больше, чем детали 3‑го типа. Вероятность того, что детали первого типа низкого качества равна 0,1, второго —0,15, а третьего —0,2. Найти вероятность того, что наудачу взятая из комплекта деталь окажется высокого качества.
5. Контролируется работа каждого из 10 узлов устройства. Вероятность того, что узел окажется неисправным, равна 0,2. Найти вероятность того, что не менее двух узлов окажутся исправными.
6. Произведено 1200 независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,85. Найти вероятность того, что будет не более 150‑ти промахов в цель; ровно 150 промахов в цель.
7. Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,005. Найти вероятность того,что среди 600 деталей окажется хотя бы одна бракованная; не более одной бракованной.
8. В бригаде 8 рабочих, из них 5 учатся. Наудачу по списку отобраны 3 человека. Составить закон распределения дискретной случайной величины X —числа рабочих, которые учатся среди отобранных. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.
9. Плотность вероятностей случайной величины Х равна
Найти параметр c, интегральную функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(1,5<X<2). Построить графики плотности и функции распределения и показать на них математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение (X).
10. Aвтомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a = 135 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 133<X<137 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 136 мм. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,96? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?
11. На основе данных о результатах измерений роста у 47‑ми детей 7‑ми лет женского пола сформировать таблицу значений относительных час-
No |
H[см] |
No |
H[см] |
No |
H[см] |
No |
H[см] |
No |
H[см] |
1 |
97,8 |
11 |
99,2 |
21 |
99,8 |
31 |
100,3 |
41 |
100,9 |
2 |
98,2 |
12 |
99,2 |
22 |
99,8 |
32 |
100,3 |
42 |
101,7 |
3 |
98,4 |
13 |
99,3 |
23 |
99,9 |
33 |
100,4 |
43 |
101,1 |
4 |
98,5 |
14 |
99,4 |
24 |
100,0 |
34 |
100,4 |
44 |
101,2 |
5 |
98,7 |
15 |
99,4 |
25 |
100,0 |
35 |
100,5 |
45 |
101,3 |
6 |
98,8 |
16 |
99,5 |
26 |
100,1 |
36 |
100,6 |
46 |
101,4 |
7 |
98,8 |
17 |
99,6 |
27 |
100,1 |
37 |
100,7 |
47 |
101,5 |
8 |
99,0 |
18 |
99,6 |
28 |
100,1 |
38 |
100,7 |
|
|
9 |
99,1 |
19 |
99,7 |
29 |
100,2 |
39 |
100,8 |
|
|
10 |
99,1 |
20 |
99,7 |
30 |
100,2 |
40 |
100,8 |
|
|
тот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 8 равноотстоящих частичных интервалов.
12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.
13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.
14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.
15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.
16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.
17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы
-
nij
X
6
12
18
24
30
36
Y
5
3
3
10
5
4
15
8
40
2
20
5
10
6
25
4
7
3