Вариант №55

1. В ящике лежат 5 красных, 7 синих и 6 зеленых шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу извлекаются 6 шаров. Какова вероятность того, что будут вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара?

2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

3. Вероятности безотказной работы каждого из элементов функциональных цепей, показанных на рисунке, соответственно равны: p₁= p₂= 0,95, p₃= 0,92, p₄= 0,9, p₅= 0,85. Какая цепь надежнее?

┌───┐ ┌───┐ ┌───┐ ┌┤ 2 ├─┤ 3 ├┐ ┌┤ 1 ├┐ │└───┘ └───┘│ │└───┘│ ┌───┐ │ │ │ │ ──┤ 1 ├─┤ ┌───┐ ├── │┌───┐│ ┌───┐ ┌───┐ └───┘ │ ┌┤ 4 ├┐ │ ──┼┤ 2 ├┼─┤ 3 ├─┤ 3 ├── │ │└───┘│ │ │└───┘│ └───┘ └───┘ └──┤ ├──┘ │ │ │┌───┐│ │┌───┐│ └┤ 5 ├┘ └┤ 2 ├┘ └───┘ └───┘

4. На сборку поступают детали 4‑х типов. Деталей 1‑го типа в 1,5 раза меньше, чем деталей 2‑го типа и в 2 раза меньше, чем деталей 3‑го типа и столько же, сколько деталей 4‑го типа. Вероятность того,что деталь 1‑го типа окажется годной, равна 0,9, 2‑го типа —0,85, 3‑го —0,9 и 4‑го типа —0,75. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется бракованной.

5. На участке 8 станков. Вероятность отказа каждого из них 0,1. Найти вероятность того, что в данный момент работает не менее половины станков.

6_. Вероятность безотказной работы каждого из 7000 независимо работающих элементов некоторого устройства равна 0,85. Найти вероятность того, что выйдут из строя не более 1000 элементов; ровно 1000 элементов.

7. Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,0015. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: хотя бы одно изделие; не более одного изделия.

8. Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Составить закон распределения дискретной случайной величины X —числа отказавших элементов в одном опыте. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.

9. Плотность вероятностей случайной величины Х равна

Найти коэффициент a, интегральную функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(1<X<1,5). Построить графики плотности и функции распределения и на показать них M(X) и (X).

10. Диаметр детали —нормально распределенная случайная величина X с параметрами: a=70 мм, =0,7 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали из партии составит от 69,1 мм до 70,9 мм; отличается от a не более, чем на 1,5 мм. Какое отклонение диаметра от a можно гарантировать с вероятностью 0,93? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?

11. На основе данных о результатах 48‑ми измерений времени 30%-ой аккомодации глаза лисицы в условиях абсолютной темноты сформировать

No	t[мин]	No	t[мин]	No	t[мин]	No	t[мин]	No	t[мин]
1	3,0	11	10,3	21	12,8	31	15,3	41	18,6
2	4,0	12	10,7	22	13,0	32	15,5	42	19,0
3	5,0	13	11,0	23	13,2	33	15,7	43	19,6
4	6,0	14	11,2	24	13,4	34	15,9	44	20,2
5	6,9	15	11,4	25	13,6	35	16,2	45	20,8
6	7,6	16	11,6	26	13,8	36	16,6	46	21,6
7	8,2	17	11,9	27	14,0	37	16,9	47	23,0
8	8,8	18	12,2	28	14,4	38	17,4	48	24,0
9	9,3	19	12,4	29	14,8	39	17,8
10	9,8	20	12,6	30	15,1	40	18,2

таблицу значений относительных частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 7 равноотстоящих частичных интервалов.

12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.

13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.

14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.

15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.

16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.

17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы

nij		X
		-6	0	6	12	18	24
Y	1	8	1
	2	1	4	9
	3		1	10	31
	4			4	16	7
	5				2	13	8