Вариант №53

1. Партия содержит 12 изделий, из которых половину подвергают контролю. Найти вероятность того, что среди них будет обнаружено ровно два бракованных изделия, если число бракованных изделий во всей партии равно три.

2. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,9, второй —0,85, третий —0,8. Найти вероятность того, что при аварии сработают какие-либо два сигнализатора; все три.

3. Вероятность выхода из строя каждого элемента функциональной схемы равна p = 0,05. Определить, какая из двух электрических цепей надежнее.

┌───┐ ┌───┐┌───┐ ┌───┐ ┌───┐ ┌┤ 1 ├┐ ┌┤ 3 ├┤ 4 ├┐ ┌┤ 1 ├┐ ┌┤ 4 ├┐ │└───┘│ │└───┘└───┘│ │└───┘│ ┌───┐ │└───┘│ ──┤ ├─┤ ├── ──┤ ├─┤ 3 ├─┤ ├── │┌───┐│ │┌───┐┌───┐│ │┌───┐│ └───┘ │┌───┐│ └┤ 2 ├┘ └┤ 5 ├┤ 6 ├┘ └┤ 2 ├┘ └┤ 5 ├┘ └───┘ └───┘└───┘ └───┘ └───┘

4. Станок 13 своего времени обрабатывает деталь №1 и 23 —деталь №2. При обработке детали №1 он стоит 15% времени, а при обработке детали №2 —9% времени. Какова вероятность застать станок стоящим?

5. Из партии деталей отобраны для контроля 8 штук. Известно, что доля нестандартных деталей во всей партии составляет 25%. Найти вероятность того, что не менее 6‑ти деталей окажутся стандартными.

6. Вероятность выхода из строя конструкции при приложении расчетной нагрузки 0,05. Какова вероятность того, что из восьмисот конструкций, испытанных независимо друг от друга, не менее 550‑ти выдержат нагрузку; ровно 550 выдержат нагрузку?

7. Устройство состоит из 400 независимо работающих однотипных элементов. Вероятность надежной работы каждого в течение времени t равна 0,995. Найти вероятность того, что за время t работают не менее трех элементов.

8. Устройство состоит из 4 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность надежной работы каждого элемента в одном испытании равна 0,9. Составить закон распределения дискретной случайной величины X —числа отказавших элементов в одном опыте. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.

9. Дана плотность вероятностей непрерывной случайной величины X

Найти параметр a, интегральную функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность P(a<X<1,5a). Построить графики плотности и функции распределения и показать на них математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение (X).

10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a = 120 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 118,8 мм и не более 121,2 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 119,5 мм. Какое отклонение длины детали от математического ожидания можно гарантировать с вероятностью 0,99? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?

11. На основе данных о результатах тестирования 50‑ти студентов по дисциплине “Психология”(по двадцатибальной системе) сформировать

No	Балл	No	Балл	No	Балл	No	Балл	No	Балл
1	8,2	11	10,1	21	11,3	31	12,7	41	14,4
2	8,4	12	10,2	22	11,4	32	12,8	42	14,5
3	8,6	13	10,3	23	11,5	33	13,0	43	14,7
4	8,7	14	10,4	24	11,6	34	13,2	44	14,9
5	8,8	15	10,5	25	11,7	35	13,6	45	15,2
6	8,9	16	10,6	26	11,9	36	13,7	46	15,3
7	9,0	17	10,7	27	12,0	37	13,9	47	15,4
8	9,2	18	11,0	28	12,2	38	14,0	48	15,6
9	9,6	19	11,1	29	12,3	39	14,1	49	15,8
10	9,8	20	11,2	30	12,5	40	14,3	50	16,0

таблицу значений относительных частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 7 равноотстоящих частичных интервалов.

12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.

13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.

14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.

15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.

16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.

17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы

nij		X
		15	18	21	24	27	30
Y	20	2	4
	25		6	3	35	4
	30			6	8	6
	35			2	4	7	3
	40				6	4