Вариант №27
1. Колода из 36‑ти карт делится наугад на две равные части. Найти вероятность, что в каждой части окажется по два туза.
2. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 16 команд, из которых случайным образом формируются 2 группы по 8 команд в каждой. Среди участников имеется 5 команд экстра-класса. Найти вероятность того, что две команды экстра-класса попадут в одну из групп, а три —в другую.
3. Вероятности безотказной работы каждого из элементов функциональных цепей, показанных на рисунке, соответственно равны: p1= p2= 0,95, p3= 0,92, p4= 0,9, p5= 0,85. Какая цепь надежнее?
┌───┐ ┌───┐ ┌───┐ ┌┤ 2 ├─┤ 3 ├┐ ┌┤ 1 ├┐ ┌───┐ │└───┘ └───┘│ │└───┘│ ──┤ 1 ├─┤ ┌───┐ ├── │┌───┐│ ┌───┐ ┌───┐ └───┘ ├───┤ 4 ├───┤ ──┼┤ 2 ├┼─┤ 4 ├─┤ 5 ├── │ └───┘ │ │└───┘│ └───┘ └───┘ │ ┌───┐ │ │┌───┐│ └───┤ 5 ├───┘ └┤ 3 ├┘ └───┘ └───┘
4. В комплекте содержатся детали 3‑х типов. Известно, что деталей первого типа в 1,5 раза больше, чем деталей второго и в 2 раза больше, чем детали 3‑го типа. Вероятность того, что детали первого типа низкого качества равна 0,1, второго —0,15, а третьего —0,2. Найти вероятность того, что наудачу взятая из комплекта деталь окажется высокого качества.
5. Из партии деталей отобраны для контроля 8 штук. Известно, что доля нестандартных деталей во всей партии составляет 25%. Найти вероятность того, что не менее 6‑ти деталей окажутся стандартными.
6. Вероятность надежной работы конструкции при приложении нагрузки равна 0,9. Найти вероятность того, что из 150 конструкций, испытанных независимо друг от друга, больше 20‑ти выйдут из строя; ровно 20 выйдут из строя.
7. Автомат изготавливает детали. Вероятность того, что изготавливаемая деталь окажется стандартной, равна 0,995. Найти вероятность того, что среди 600 деталей окажется более двух бракованных.
8. В комплекте 20% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины X‑числа стандартных деталей среди отобранных. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение (X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.
9. Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение (X) и вероятность попадания X в интервал (3,5, 4,5). Построить графики плотности и функции распределения и на показать них математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
10. Диаметр детали —нормально распределенная случайная величина с параметрами a = 85мм , = 0,4 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали из партии составит от 84,4 мм до 86,0 мм, вероятность отклонения диаметра от a не более чем на 1 мм. Какое отклонение диаметра от a можно гарантировать с вероятностью 0,9? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?
11. На основе данных о результатах анализа эффективности работы 49‑ти предприятий области по величине выработки на одного рабочего в отчетном году (в % к предыдущему году) сформировать таблицу значений
No |
Эр[%] |
No |
Эр[%] |
No |
Эр[%] |
No |
Эр[%] |
No |
Эр[%] |
1 |
82 |
11 |
98 |
21 |
104 |
31 |
110 |
41 |
117 |
2 |
84 |
12 |
99 |
22 |
104 |
32 |
110 |
42 |
118 |
3 |
86 |
13 |
100 |
23 |
105 |
33 |
111 |
43 |
120 |
4 |
88 |
14 |
100 |
24 |
105 |
34 |
111 |
44 |
121 |
5 |
91 |
15 |
101 |
25 |
106 |
35 |
112 |
45 |
122 |
6 |
93 |
16 |
102 |
26 |
107 |
36 |
113 |
46 |
125 |
7 |
94 |
17 |
102 |
27 |
107 |
37 |
114 |
47 |
127 |
8 |
95 |
18 |
102 |
28 |
108 |
38 |
114 |
48 |
129 |
9 |
96 |
19 |
103 |
29 |
108 |
39 |
115 |
49 |
132 |
10 |
97 |
20 |
103 |
30 |
109 |
40 |
115 |
|
|
относительных частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 7 равноотстоящих частичных интервалов.
12. Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения.
13. Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.
14. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот.
15. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность = 0,95 и 0,99.
16. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.
17. Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы
-
nij
X
8,5
10,5
12,5
14,5
16,5
18,5
Y
14
6
2
17
3
12
10
20
32
8
23
14
3
3
26
5
4