5.2. Прийняття рішень у змішаних стратегіях теорії ігор. Вибір передвиборчої стратегії партії.

1. Постановка проблеми

Дві партії, що конкурують на виборах здійснюють передвиборчі агітаційні акції у різних містах держави. У партії А є дві передвиборчі стратегії, з яких вона на конкретній акції може застосувати тільки одну. У партії В є чотири контр-стратегії, одну з яких вона може застосувати на акції.

Партії проводять акції в кожному місті не знаючи, які контраргументи застосовує противник.

Співвідношення стратегій конкуруючих партій визначає їх успіх на майбутніх виборах. Виграші партії А ( процент голосів віданнях за партію) подано у табл.5.7.

Процентний розподіл голосів виборців.

Табл. 5.7

Стратегія партії Вj Стратегія партії Аі	В1	В2	В3	В4
А1	80	60	90	50
А2	50	70	20	80

Розглянути проблему вибору передвиборчих стратегій партій.

2. Формування мети прийняття рішень.

Мета кожної з партій – це обрання такої з передвиборних стратегій, яка забезпечить щонайбільшу частку голосів на виборах.

3. Визначення множини допустимих альтернатив.

Множина допустимих альтернатив обох партій є очевидною:

• У розпорядженні партії А є дві передвиборчі стратегії А₁ та А₂;

• У розпорядженні партії В є чотири контр-стратегії В₁, В₂, В₃ та В₄.

4. Ідентифікація типу задачі прийняття рішень.

Мета прийняття рішення породжує критерій, який дозволяє упорядкувати альтернативи: кожній з альтернатив співставляється процентна частка голосів потенційних виборців. Проте, вибір альтернативи не визначає виграш (програш) кожної з партії однозначно, він залежить від співвідношення стратегій, які застосовують партії.

Таким чином, проблема вибору передвиборчої стратегії партії є задачею прийняття рішень з поведінковою невизначеністю.

5. Порівняння допустимих альтернатив та вибір рішення.

1. Побудова платіжної матриці.

Постільки інтереси сторін є протилежними та виграш однієї партії дорівнює програшу іншої, тобто має місце антагоністична гра з нульовою сумою та конфліктна ситуація формалізується платіжною матрицею, яка наведена у табл. 5.8.

Платіжна матриця гри вибору передвиборчої стратегії партії.

Табл. 5.8

Вj Аі	В1	В2	В3	В4
А1	80	60	90	50
А2	50	70	20	80

2. Виключення з розгляду альтернатив, що домінуються.

Аналіз платіжної матриці дозволяє зробити висновок, що у кожної з конфліктуючих сторін, альтернатив, які домінуються іншими немає.

3. Визначення верхньої та нижньої ціни гри.

За алгоритмами, наведеними у попередньому прикладі складемо мінімаксну матрицю (табл.5.9) та визначимо нижню та верхню ціну гри.

Платіжна мінімаксна матриця гри

Табл. 5.9

Вj Аі	В1	В2	В3	В4
А1	80	60	90	50	50
А2	50	70	20	80	20
	80	70	90	80

Нижня ціна гри:

1⁰ Мінімальні виграші для кожної стратегії гравця А

; =50;=20.

2⁰ Максимальний виграш:

Очевидно, що обравши у передвиборній кампанії стратегію А₁ партія А може як мінімум заручитися на виборах підтримкою 50% виборців.

Верхня ціна гри:

1⁰ Максимальні програші для кожної стратегії гравця В

;

=80; =70,.=90,=80.

2⁰ Мінімальний програш:

=70.

Партія В, обравши у передвиборній стратегії альтернативу В₂, забезпечить собі на виборах підтримку не менше, ніж 100-70=30% виборців. Очевидно, що при інших стратегіях програш партії може бути більшим.

4. Ідентифікація ігрової стратегії та вибір методу рішення гри.

Ситуація, що розглядається, повторюється багатократно, перед черговим вибором стратегії проведення передвиборчої акції у кожному місті.

Оскільки, нижня ціна гри не дорівнює верхній гра не має сідлової точки та мінімаксні чисті стратегії сторін не є стійкими, що не дає оптимального рішення гри у чистих стратегіях.

Положення рівноваги може бути порушено відомостями про стратегії, які застосовує протилежна сторона. Так, дізнавшись, що у відповідь на чисту стратегію А₁ сторона В застосовує стратегію В₄ , партія А може у черговий раз обрати стратегію А₂, що принесе їй виграш у 80%. У відповідь на це партія В може застосувати стратегію В₃, що зменшить виграш А до 20% і т.д.

Важливе зауваження Виграш, більший за нижню ціну гри, може забезпечити партії А застосування змішаних стратегій – випадкове чергування чистих стратегій. Змішані стратегії являють собою модель гнучкої тактики, при якій супротивник не знає і не може знати заздалегідь, яку з наявних стратегій застосовує протилежна сторона

.

Необхідні теоретичні відомості.

У загальному випадку в розпорядженні гравця А може бути стратегій:А₁, А₂, …, А_і, А_m , у супротивника-стратегій:В₁, В₂, , В_і, В_n.

Змішаною стратегією гравця А називається застосування чистих стратегій А₁, А₂, …, А_і, А_m з ймовірностями , причому сума ймовірностей дорівнює1:

(5.1)