Важливе зауваження

Рішенням гри називається пара оптимальних стратегій (у загальному випадку змішаних), таких, що жодному з гравців не буде вигідним відступати від своїх стратегій, якщо супротивник притримується своєї.

Виграш, який відповідає рішенню називається ціною гри. Ціна гри завжди лежить між нижньою ціною грита верхньою ціною гри.

Основна теорема теорії ігор (теорема Неймана):

Будь-яка кінцева гра має принаймні одне оптимальне рішення, можливо серед змішаних стратегій.

Навчальний приклад

Припустимо, що проблема вибору передвиборної стратегії партії формалізується платіжною матрицею (табл.5.11).

Платіжна матриця

Табл. 5.11

Очевидно, що альтернатива В₃ заздалегідь гірша (домінується альтернативою В₁ ), так само альтернатива В₄ домінується альтернативою В₂. Таким чином платіжна матриця альтернатив, що не домінуються має вигляд наведений у табл.5.12., а ситуація формалізується грою 2х2.

Платіжна матриця альтернатив, що не домінуються

Табл.5.12

Вj Ai	В1	В2
А1	20	80
А2	50	30

Гра не має сідлової точки, тому її рішення може бути знайдено у змішаних стратегіях аналітичним методом за формулами (5.2-5.5).

Ціна гри:

Тобто, дотримуючись оптимальних змішаних стратегій партія А забезпечить собі 42,5% голосів на виборах, що більше за нижню ціну гри (20%), але менша за верхню (50%).

Ймовірність відповідних стратегій:

Таким чином, партія А повинна застосувати комбінацію чистих стратегій, користуючись першою стратегією А₁ з ймовірністю 0,25 ( у 25% випадках із 100), стратегією А₂ з ймовірністю 0,75. У цьому випадку середній виграш партії А буде дорівнювати 42,5% голосів виборців.

Аналогічно партія В повинна користуватися змішаною контр-стратегією В₁-В₂ у пропорції 0,625 до 0,375.

Навчальний приклад

Розглянемо ситуацію, яка формалізується платіжною матрицею поданою таблицею 5.12.

1⁰ На горизонтальній вісі площинивідкладається відрізок одиничної довжиниА₁, А₂, ліва межа якого подає чисту стратегію А₁ з ймовірностями права-чисту стратегіюА₂ з ймовірностями .

Кожна проміжна точка відрізка А₁А₂ подає змішану стратегію гравця А – , причому ймовірністьстратегіїА₁ дорівнює відстані від точки до правого кінця відрізку; ймовірністьстратегіїА₂ – відстані до лівого кінця.

2⁰ .В точках А₁ та А₂ проводяться перпендикуляри, на яких відкладаються виграші гравців при відповідних стратегіях (рис.5.1). Якщо гравець В застосує стратегію В_1, гравець А отримує:

• за стратегією А₁ виграш (відкладається на вісіА₁ );.

• за стратегією А₂ виграш (відкладається на вісіА₂)

3⁰ .З’єднавши відповідні ординати по осям А₁ та А₂ отримуємо пряму В1-В1 (стратегія В₁), будь-яка точка якої подає змішану стратегію гравця А: (абсциса - ймовірності стратегій, ордината – виграші).

Рис. 5.1 Графічне вирішення ігор 22

4⁰ .Аналогічно будується стратегія В₂ : ;.

5⁰ .Будується нижня границя виграшу при стратегіях В₁, В₂, тобто ломана лінія В₁NВ₂ , яка подає мінімальні виграші гравця А за будь-якою його змішаною стратегією.

Оптимальна стратегія забезпечує гравцюА максимальний виграш при найнесприятливішій стратегії супротивника. Цій стратегії відповідає точка N, ордината якої дорівнює ціні гри ≈42%; відстань від точкидо кінців одиничного відрізку дорівнює ймовірностямтастратегійА₁ та А₂ в оптимальній змішаній стратегії гравця А.

6⁰ .Здійснюється геометрична інтерпретація нижньої ціни гри α та верхньої β. (рис.5.1).

7⁰ .Знаходяться ймовірності таоптимальної змішаної стратегії

Аналіз графіка (рис.5.1) дозволяє стверджувати, що частка стратегії дорівнює:

(5.6)

Для прикладу, що розглядається:

Частка стратегії q₂ в оптимальній змішаній стратегії:

Зазначимо, що графічний метод дає рішення близьке до аналітичного.

Рішення гри: =42%;=(0,25, 0,75);=(0,63, 0,37).