Зіненко к.І. Завдання з геометрії, що сприяють формуванню математичної компетентності школярів

Стаття присвячена проблемам, пов’язаним з упровадженням компетентнісного підходу у навчання геометрії. Запропоновано деякі шляхи формування математичної компетентності школярів у процесі навчення геометрії. Розглядаються тест загальної навчальної компетентності (ТЗНК) як один із шляхів впровадження компетентнісного підходу в Україні; предметно-галузеві математичні компетентності учня (процедурна, конструктивно-графічна, логічна та дослідницька компетентності). Пропонуються завдання з геометрії, що сприяють формуванню математичної компетентності школярів.

Ключові слова: компетенції, компетентність, математична компетентність, тест загальної навчальної компетентності (ТЗНК), геометрія.

Постановка проблеми. Національна доктрина розвитку освіти України у ХХІ столітті визначила, що головною метою вітчизняної системи освіти є створення умов для розвитку і самореалізації кожної особистості, забезпечення високої якості освіти випускників середньої та вищої школи. Одним із шляхів забезпечення даної мети є навчання на новій концептуальній основі в рамках компетентнісного підходу. Особливої уваги потребує навчання математики, оскільки вивчення цього предмета озброює учнів системою математичних знань, навичок і вмінь, що необхідні для успішного оволодіння іншими освітніми галузями знань та забезпечення неперервної освіти, так і у повсякденному житті та майбутній трудовій діяльності. Збільшення фактичного матеріалу, що мають засвоїти учні, та зменшення кількості навчальних годин, що відводяться на вивчення математики (як у середній, так і у вищий школі), вимагає пошуку нових шляхів покращення якості освіти.

Отже, важливим питання є формування в учнів математичної компетентності як невід’ємної складової загально-людської культури.

Але аналіз досвіду роботи свідчить, що вчителям-практикам дуже важко зорієнтуватися, як саме перебудувати процес навчання математики, з метою спрямування його на формування саме математичної компетентності учнів. Тому важливою є демонстрація можливості формування математичної компетентності учнів у процесі розв’язування задач з геометрії на конкретних прикладах.

Аналіз актуальних досліджень. Поняття «компетентність» у психолого-педагогічній літературі остаточно не визначено і в більшості випадків вживається, як вдало висловилась М.І.Тіхонова інтуїтивно. Загальним методичним аспектам упровадження компетентнісного підходу в освіті як засобу організації особистісно орієнтованого навчання присвячені праці Н.М. Бібік, Г.В. Єльнікової, І.Г. Єрмакова, О.В. Овчарук, О.І. Пометун, Дж. Равена, С.Є. Шишова [8; 9].

Термін «компетентність» походить від латинського слова «cоmpetens», що в перекладі означає «належний, здібний» [6].

Компетентність – це певна сума знань людини, які дозволяють їй судити про що-небудь, висловлювати переконливу авторитетну думку [4, с. 144]. Це означення характеризує компетентність як можливість встановлення зв’язків між знаннями й ситуацією, як спроможність знайти процедуру (знання і дії), яка відповідає проблемі.

Експерти країн Європейського Союзу визначають поняття компетентностей як «здатність застосовувати знання й уміння» (Eurydice, 2002), що забезпечує активне застосування навчальних досягнень у нових ситуаціях.

С. А. Раков увів поняття математичної компетентності та розглянув процес формування математичних компетентностей учителя математики на основі дослідницького підходу з використанням інформаційних технологій, визначив основні математичні компетентності та напрями їх набуття. Під математичною компетентністю він розуміє « уміння бачити та застосовувати математику в реальному житті, розуміти зміст і метод математичного моделювання, вміння будувати математичну модель, досліджувати її методами математики, інтерпретувати отримані результати, оцінювати похибку обчислень» [10].

Питанням реалізації компетентнісного підходу в математичній освіті присвячені праці І.М. Аллагулової, В.В. Ачкана, Л.І. Зайцевої, С. О. Скворцової, Н.Г. Ходирєва та О.В. Шавальова.

Мета статті: продемонструвати можливості формування математичної компетентності учнів у процесі розв’язування геометричних задач.

Виклад основного матеріалу. Одним із шляхів впровадження компетентнісного підходу в Україні є запровадження тесту загальної навчальної компетентності (ТЗНК).Загалом, упровадження такого тесту у систему ЗНО дозволяє вирішити наступні завдання: підвищення рівня ефективності системи вступу до вищих навчальних закладів (рівень загальної навчальної компетентності разом із рівнем навчальних досягнень допоможе якісніше прогнозувати успішність вступників, а отже, більш якісно відбирати студентів під час прийому до ВНЗ); становлення компетентнісної парадигми освіти (введення тесту ТЗНК сприяє більш активному становленню компетентнісної парадигми навчання в школі — «про що і як питають, того так і навчають»); забезпечення успішності випускника школи в суспільстві сталого розвитку (становлення компетентнісної парадигми освіти забезпечить успішність випускників під час навчання у виші, в навчанні протягом життя, у професійній самореалізації); забезпечення успішності переходу країни до суспільства сталого розвитку (компетентність громадян є передумовою динамічного розвитку держави протягом становлення і вдосконалення суспільства сталого розвитку).

Розглянемо завдання, що пропонуються авторами ТЗНК.

Завдання 1. На рисунку 1 зображено поперечний переріз бруса. Він являє собою прямокутник без чотирьох відрізаних від нього рівних рівнобедрених трикутників. Знайдіть площу перерізу (розміри на рисунку наведені в міліметрах).

Рис. 1

Відповідь: 56 см².

Виконуючи завдання 1, учневі потрібно продемонструвати високий рівень математичного мислення, використовуючи при цьому досить обмежені фактичні знання з курсу планіметрії, виявити високий рівень винахідливості. Основна складність полягає у знаходженні площі трикутників, відрізаних від прямокутника. Визначальним тут є усвідомлення факту: окрім того, що дані трикутники є рівнобедреними, вони ще і прямокутні. Використовуючи цей факт, легко знайти, користуючись теоремою Піфагора, бічні ребра, і відповідно – знайти площу трикутника. Далі учням залишається лише від площі прямокутника відняти площу трикутників та отримати шуканий результат.

Таким чином, завдання логіко-математичної частини тесту відповідають сучасним уявленням про роль і місце логічних міркувань і математичного методу в загальнолюдській культурі, науці, в розв’язанні життєвих проблем. Вони спрямовані на використання й розуміння базових математичних уявлень, а також логіку безпосереднього розв’язування задачі. Завдання цього тесту не перевіряють сформованості складних обчислювальних навичок, знання означеньіз курсу вищої математики. Водночас тест передбачає, що вступник вийде за межі застосування правил і формул та почне розв’язувати задачі у змінених та нових умовах.

Виділяють [9] певні предметно-галузеві математичні компетентності учня, такі як процедурна, конструктивно-графічна, логічна та дослідницька компетентності.

Процедурна компетентність – володіння методами розв’язування типових математичних задач.

Конструктивно-графічна компетентність – здатність будувати математичні моделі практичних ситуацій, використовуючи аналітичні або графічні об’єкти.

Логічна компетентність – володіння дедуктивним методом доведення та спростування тверджень.

Дослідницька компетентність – володіння передбачуваними програмою та Державним стандартом базової і повної загальної середньої освіти математичними методами дослідження практичних задач.

Розглянемо завдання з геометрії, що сприяють формуванню математичної компетентності школярів.

Набуттю конструктивно-графічної компетентності сприяє використання задач практичного характеру.Пропонуємо кілька авторських завдань.

Завдання 2. Побудуйте трикутник, подібний трикутнику зі сторонами a, b, c та кутами α, β,, площа якого була б у чотири рази меншою.

Для побудови трикутника достатньо, щоб були надані три його елементи. Тому вчитель може змінювати умову задачі, варіюючи рівень її складності.

Завдання 3. Одному з учнів класу на день народження подарували точну копію пожежного автомобіля, що менший від оригіналу у 20 разів. Знайти довжину оригіналу, якщо його висота – 3,4 м, а довжина іграшкової моделі на 13 см більша за її висоту.

Розв’язання

Нехай маємо подібні трикутники та

Нехай k – коефіцієнт пропорційності, k=20.

Тоді , =0,17 (м).

Рис. 2

Відповідь. Довжина оригіналу 6 метрів.

Формуванню логічної компетентності учня сприяє знаходження помилок в доведенні софізмів. Наприклад:«Прямий кут дорівнює тупому».

Наведемо «доведення» цього твердження із книги [2].

Нехай дано прямокутник ABCD. Відрізок АЕ лежить зовні прямокутника і дорівнює стороні АВ або CD; він утворює гострий кут із стороною АВ, як показано на рис. 3. Оскільки СВ і СЕ не паралельні, їх серединні перпендикуляри НО і КО перетинаються в деякій точці О, яку ми з’єднаємо з точками А, Е, С, D.

Трикутники ODC і OAE, очевидно, рівні. Дійсно, ОС = ОЕ, оскільки КО – серединний перпендикуляр відрізка СЕ; аналогічно OD = OA, так як HO – серединний перпендикуляр до CB і DA. Крім того, за побудовою AE = DC. Таким чином, три сторони трикутника ODC рівні відповідним сторонам трикутника ОАЕ. Отже, за теоремою 8 книги І “Начал” Евкліда ці трикутники рівні, звідки випливає, що кут ODC дорівнює куту ОАЕ.

Рис. 3

Крім того, оскільки НО – серединний перпендикуляр до DA, кут ODA дорівнює куту OAD.

Отже, кут ADC (різниця кутів ODC і ODA) рівний куту DAE (різниці кутів OAE і OAD). Але кут ADC прямий, а кут DAE є тупим. Таким чином, ми довели те, чого не може бути.

Щоб знайти помилку в доведенні можна спочатку використати пакет динамічної геометрії DG та повторити малюнок, що пропонується авторами (рис. 3)

Він суттєво відрізняється від запропонованого.

Таким чином можна висунути гіпотезу, що відрізки ОВ і ОЕ лежать по різні боки прямої ОА. Дійсно, ОВ = ОС, оскільки ОН – серединний перпендикуляр відрізка СВ, а ОС = ОЕ, оскільки ОК – серединний перпендикуляр відрізка СЕ. Отже, ОВ = ОЕ, а тому точка О належить серединному перпендикуляру відрізка ВЕ. Крім того, АВ = АЕ, тому точка А також належить серединному перпендикуляру відрізка ВЕ. Таким чином, пряма ОА є серединний перпендикуляр відрізка ВЕ. Звідси і випливає, щоточки В і Е лежать по різні боки прямої ОА

.

Рис. 4

Таким чином, автори софізму в своєму «доведенні» спираються на неправильний малюнок, що й приводить до абсурдного результату.

Для набуття логічної та дослідницької компетентностей доцільно використовувати усні завдання, спрямовані на розвиток логічного мислення та культури математичного мовлення учнів. Наведемо приклади таких вправ.

Завдання 2.3. Доведіть, що площа півкруга, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника як на діаметрі, дорівнює сумі площ півкругів, побудованих на його катетах як на діаметрах [7].

Розв’язання

Нехай S_c – площа півкруга, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника як на діаметрі, S_a, S_b – площі півкругів, побудованих на його катетах як на діаметрах. Тоді , , .

.

За теоремою Піфагора:

.

Тоді , що і потрібно було довести.

Завдання 2.4. Два подібні трикутники мають спільний кут. Чи обов’язково їх сторони, протилежні цьому куту, паралельні? Наведіть контр приклад [3].

Розв’язання

Сторони, протилежні цьому куту, не обов’язково будуть паралельними. Наведемо контрприклад. Нехай маємо два рівних прямокутних трикутника з катетами a, b, та c. Якщо зобразитиїх, як це показано на рисунку 5 можна легко пересвідчитися, що твердження не справджується.

Набуттю методологічної компетентності сприяє використання задач, що вимагають від учня використання життєвого досвіду. Наведемо приклад таких завдань.

Рис. 5

Завдання 2.5. Тінь від башти дорівнює 24 м. а вертикальний шест довжиною 1,2 м в ту саму пору дня має тінь завдовжки 80 см. Яка висота башти? [1].

Ров’язання

Нехай маємо подібні трикутники та ,

,

,

Відповідь.Висота башти 16 метрів.

Завдання 2.6.Форму якихрівнихправильнихмногокутниківможутьмати дощечки паркету, щоб ними можнабуловистелитипідлогу?

Ров’язання

Навколо однієї точки можна укласти стільки дощечок,у скільки разів кут при вершині дощечки, який дорівнює менший від 360°, тобто дощечок. Значення виразу має бути натуральним числом. Оскільки , то значення виразу має бути натуральним числом.Тобто, може дорівнювати 3, 4, та 6.

Відповідь. Дощечки можуть мати форму трикутників, або квадратів, або шестикутників.

Висновки та перспективи подальших наукових розвідок. Отже, геометричний матеріал є потужним засобом формування математичної компетентності. Подальшого дослідження потребує конкретизація у «Державному стандарті базової і повної загальної середньої освіти» та програмах з математики навчального матеріалу, що спрямований на розвиток математичної компетентності та створення конкретної системи завдань.