3. Інші трикутники.

Теорема 6. Існує трикутник з раціональними сторонами, у якого всі три медіани раціональні.

Доведення. Таким є знайдений Л.Ейлером трикутник, у якого [1, С.305]. Зауважимо, що в [1, с. 305] помилково сказано, що площа цього трикутника також раціональна. Насправді вона ірраціональна і дорівнює .

Теорема 7. Якщо в трикутнику з раціональними сторонами існує кут, градусна міра якого дорівнює , то серед чисел множини є ірраціональні числа.

Доведення. Відомо [5, С.168-187], що при і , отже, . Якщо або , то тоді і, отже, одна з бісектрис ірраціональна.

Теорему 7 доведено.

Теорема 8. Існує трикутник, у якого всі числа множини трансцендентні.

Доведення. Таким є, наприклад, рівносторонній трикутник, у якого , де - трансцендентне число. Тоді всі висоти, бісектриси і медіани дорівнюють , а . Ці числа, очевидно, трансцендентні.

4. Коло.

З колом пов’язана знаменита ірраціональність – число . Ліндеман довів трансцендентність . Цікавим є питання про раціональні точки кола . Точку цього кола будемо називати раціональною, якщо і ірраціональною, якщо хоча б одне з чисел і ірраціональне. Оскільки , то на кожному колі є безліч ірраціональних точок в силу неперервності функції . Справедлива наступна

Теорема 9. Існують кола , на яких немає раціональних точок.

Доведення. Прикладом такого кола є . Припустимо, що на цьому колі є раціональна точка . Тоді , причому можна вважати, що числа натуральні. Тоді . Позначимо . З цієї рівності випливає, що ділиться на 3. Покажемо, що квадрати натуральних чисел при ділення на дають остачі або . Для цього достатньо показати, що при діленні на не може бути остачі . Подамо число у вигляді , де може приймати значення , і припустимо, що , тоді , звідки випливає, що число ділиться на , що неможливо при . Отримана суперечність доводить неможливість рівності у множині натуральних чисел. Тому числа і діляться на , тобто , звідки , , . Застосувавши до останньої рівності попередні міркування, отримаємо , причому . На - му кроці будемо мати , - натуральні, що неможливо для довільного .

Теорему 9 доведено.

Теорема 10. Для існування на колі безлічі раціональних точок необхідно й достатньо існування однієї такої точки.

Доведення. Необхідність очевидна. Для доведення достатності позначимо через - раціональну точку кола , запишемо параметричні рівняння прямої, що проходить через точку :

,

і знайдемо точки перетину цієї прямої з колом:

,

звідки , оскільки ,

.

При отримуємо точку , при , за умови , отримуємо безліч раціональних точок кола, причому вони охоплюють усі раціональні точки кола. Із способу доведення випливає, що раціональні точки кола є на кожній його дузі, оскільки кутовий коефіцієнт прямої неперервно змінюється.

Теорему 10 доведено.

Так, на колі є безліч раціональних точок, оскільки точка лежить на цьому колі. Зауважимо, що теорема 10 справедлива і для еліпса , якщо , .

Теореми 9 і 10 справедливі для сфери . Цікаво, що на сфері існує безліч раціональних точок, оскільки точка лежить на ній. Можна показати, що на сфері раціональних точок немає [6, с. 94-95].

Висновки. Дослідження цікавих властивостей, що пов’язані з питанням «раціонального» та «ірраціонального» можна продовжити на алгебраїчному матеріалі.