Діалог математика та гуманітарія

Г: Я хочу зрозуміти: що таке функція? Чому ваші колеги возяться з цією річчю, як з писаною торбою, але нікому не дають заглянути в неї? Навіщо ці функції потрібні? Які вони бувають, а якими не бувають? Що можна зробити з будь-якою функцією, що не з будь-якою, а тільки з дуже хорошою? Чого не можна робити ні під яким виглядом? Дайте простому гуманітарію розібратися у вашій математичній кухні!

М: У нас на кухні секретів немає. Але спершу дозвольте познайомити вас з простішою річчю: з графіком функції!

Г: Давайте його сюди! Про нього теж багато казок розказують, але строгого визначення я ні від кого не чув. Почніть же з визначення графіка!

М: Добре. Уявіть, що ми з вами знаходимося на площині, де введена система декартових координат. Тобто, кожній точці площини ми зіставили пару чисел (х,у). Це вам знайомо?

Г: Так, це річ звична.

М: Отже, графіком функції називається безліч крапок, у яких абсциси є допустимими значеннями аргументу x, а ординати – відповідними значеннями функції у. Ось вам визначення. Тепер займемося прикладами. Чи всяка пряма на площині є графіком якоїсь функції?

Г: Так! Ці функції так і називають: лінійні. Хоча правильніше було б сказати: прямолінійні!

М: Так було б точнішим. Але вже так повелося і не вводитимемо нові слова! Раз ви знайомі з лінійною функцією, то назвіть дві такі функції з різними графіками!

Г: Будь ласка! Одна функція: ; інша: .

М: Що ви скажете про їх графіки?

Г: Дуже просто: графіки цих двох функцій – бісектриси кутів між осями координат. Графік ділить навпіл перший і третій координатні кути, а графік другий і четвертий кути. Тому кут між цими двома графіками прямий.

М: Воістину так! А пряма, паралельна однієї з координатних осей: вона є графіком якої-небудь функції?

Г: Наприклад, якщо пряма паралель осі X, то вона є графік постійної функції. Наприклад: у = 5.

М: Добре. А якщо вибрати як графік параболу або гіперболу?

Г: Якщо графік – парабола, то функція відома: у = х². Якщо гіпербола – теж відома: у = к/х. Ви краще поясніть: чим вони так хороші, ці функції? За що ви їх цінуєте вище за числа, хоча числа всім зрозумілі, а функції розуміють тільки математики?

М: Дякую за комплімент: я радий, що числа нині стали зрозумілі всім! Я в них ще багато чого не розумію... Але якщо порівняти число з функцією, то відразу помітна одна відмінність: число описує якийсь постійний об'єкт, а функція – змінний. Наприклад, цеглину можна задати трьома числами: його довжиною, шириною і висотою. Але якщо нас цікавить траєкторія кинутої цеглини, то її доводиться описувати не числом, а функцією!

Г: Так: цеглина летить за параболою!

М: Не зовсім так! Центр ваги кинутої цеглини описує параболу, якщо можна нехтувати опором повітря. Але цеглина ще і обертається навколо свого центру ваги! Якщо це обертання рівномірно, тоді у нього є вісь, яка зберігає свій напрям в просторі, зміщуючись паралельно самої собі так само, як вісь Землі при її русі навколо Сонця. Тому політ цеглини доводиться описувати невеликим набором числових функцій, заданих на всій числовій прямій. На щастя, ці функції виявляються розв’язаннями нескладних рівнянь: це помітив Ньютон, з цього почалася сучасна фізика. Ось для неї теж потрібні функції!

Г: Ага! Значить, функції ви придумали не довільно, а за замовленням фізиків!

М: Ми взагалі нічого не придумуємо довільно: все під диктування Природи! Коли потрібно було рахувати овець або зерно, тоді довелося придумати цілі і раціональні числа. Коли люди почали ділити ріллю і будувати кам'яні стіни, тоді знадобилося числення багатокутників і многогранників, з'явилася геометрія. Коли астрономи захотіли зрозуміти рух планет, тоді з'явилося числення функцій, назване математичним аналізом.

Г: А якими способами взагалі можна задати функцію?

М: На це питання нам допоможуть відповісти учні. Які існують способи, за якими задаються функції?

2. Бліц турнір: командам по черзі задаються питання (за кожну пра­виль­ну відповідь надається по 3 бали)

1. Яка функція зветься оберненою пропорційністю? Наведіть приклад.

2. Який графік має дробово-лінійна функція? Намалюйте.

3. Який вигляд має кубічна парабола? Чому?

4. Чи можна назвати функцію √ степеневою? Обґрунтуйте відповідь.

5. Чи є похідна квадратичної функції теж функцією? Чому?

6. Який геометричний сенс похідної?|зміст|

7. Чи може функція, яка визначена на множині всіх дійсних чисел|всюди|, мати похідну лише|тільки| на безлічі раціональних чисел? Наведіть приклад.

8. Чи завжди нулі функції збігаються з нулями її похідної? Обґрунтуйте.

9. Чи можуть функція і її похідна мати однакові точки екстремуму?

10. Якщо похідна функції додатна на множині всіх дійсних чисел. Чи обов’яз­ково така функція зростає?

3. Діалоги за поданими задачами (текстами): за поданими текстами кожна команда розігрує перед класом невеличкі діалоги, у яких один з учнів виголошує загадку, інші дають логічно обґрунтовану відповідь (кожна команда отримує по два тексти; правильність побудови діалогу і відповіді на питання оцінюється 5 балами).

Текст 1. ТРИ ФІЛОСОФИ

Три філософи, виснажені науковими суперечками та зморені спекою, лягли в затінку і поснули. Вони спали так довго й міцно, що не відчули, як місцевий жартівник мастив їм лоби сажею. Філософи прокинулися, роззирнулися, побачили чорні лоби один одного і розсміялися. Раптом один філософ, той, якого визнавали найрозумнішим, перестав сміятися. Він здогадався, що і його лоб у сажі. То як міркував наймудріший?

Текст 2. МИСЛИВСЬКИЙ ТРОФЕЙ

На полювання вирушили два батька і два сини. Уполювали 3 зай­ців і, повертаючись, кожний ніс по 1 зайцю. Як же це могло бути?

Текст З. ПОНЕДІЛОК, ВІВТОРОК, СЕРЕДА...

Якось один чолов’яга забув, який сьогодні день тижня. Коли він запитав про це в приятеля, той відповів так: «Коли післязавтра» стане «вчора», то «сьогодні» буде так далеко до неділі, як і день, який був «сьогодні», коли «той» день був «учора». То який сьогодні день тижня?

Текст 4. СІМЕЙНА ПЕРЕПРАВА

Батько важить 100 кг, а його два сини-близнюки — по 50 кг кожний, їм треба переправитися на другий берег на човні, який витримує лише 100 кг. Як це зробити?

4. Підведення підсумків гри

Висновки та перспективи подальших наукових розвідок. Таким чином, організація вчителем евристичного діалогу на уроках математики та цілеспрямована позакласна робота з математики з навчання учнів самостійно вести подібні діалоги дозволяють розвинути у школярів уміння обґрунтовано шукати відповіді на питання, вступати в дискусію, уміло вести співрозмовника до відкриття нового знання, що є проявом евристичного мислення.