Собкович р. І., Кульчицька н. В. Застосування властивостей функцій при розв’язуванні задач з параметрами

Під час дослідження математичних моделей (співвідношень, функціональних залежностей, рівнянь, нерівностей) часто виникає необхідність розв’язувати задачі з визначення тих значень параметрів, при яких досліджуваний об’єкт володітиме певними властивостями. У статті розглянуто зв’язок між властивостями функцій та значеннями параметрів, які входять у їхній вираз (область визначення, множина значень, парність і непарність, монотонність, існування екстремумів). Наведено ряд прикладів із розв’язанням, які наочно демонструють вплив параметрів, що входять в аналітичний вираз функції, на її властивості. Запропоновано ряд завдань для самостійного розв’язування. Стаття призначена для вчителів математики.

Ключові слова: задачі з параметрами, властивості функції, математична модель, залежність значення параметра від умови задачі, рівняння, нерівність, методика навчання математики, самоосвіта вчителів.

При вивченні шкільного курсу математики часто доводиться зустрічатися з випадками, коли математичні моделі, представлені у виді певних співвідношень, функціональних залежностей, рівнянь або нерівностей, крім основних містять також додаткові змінні – так звані параметри. Їх наявність у виразі може суттєво впливати на властивості досліджуваного об’єкта. Останнє часто створює необхідність розв’язувати задачі, зміст яких полягає у тому, щоб із деякої множини допустимих для параметрів значень визначити ті із них, при яких досліджуваний об’єкт володітиме певними заданими в умові задачі властивостями.

Дослідження виразів з параметрами часто є значно складнішою проблемою, ніж просто відшукання розв’язків того чи іншого класу рівнянь або нерівностей. Проте це не повинно створювати думку про недоцільність розгляду такого роду задач. Насамперед наведемо приклади із програми шкільного курсу математики, які ілюструють той факт, що ігнорувати питання необхідності вивчення задач з параметрами не можна, та підтверджують актуальність досліджень.

Навіть розв’язування одних із найпростіших, а саме лінійних рівнянь виду передбачає розгляд ряду випадків у залежності від значень параметрів та . Зокрема: 1) якщо , то ; 2) якщо та , то ;

3) якщо та , то рівняння розв’язків не має.

У випадку нерівностей виду або теж потрібно розглянути ряд випадків, які пов’язані із різними значеннями параметрів та . Розв’язками нерівності будуть інтервали при , при , при та . Якщо та то нерівність не матиме розв’язків.

Розв’язування квадратних нерівностей або передбачає дослідження випадків, пов’язаних із знаком дискримінанта та напрямком віток параболи , тобто випадків, коли , ; , та , , а також , ; , та , .

Обов’язковим є розгляд різних значень параметра при розв’язуванні показникових та логарифмічних нерівностей виду , , , , найпростіших тригонометричних рівнянь та нерівностей , , , , , .

Дослідження властивостей функцій , , , , теж передбачає розгляд різних значень параметрів, які входять у їхній аналітичний вираз.

Наявність параметрів у рівняннях, нерівностях та їх системах природно робить задачу більш складною, оскільки одночасно доводиться розв’язувати фактично необмежену кількість вправ, які виникають при фіксуванні різних значень параметрів. Крім того, розв’язання рівняння (нерівності, системи) з параметром передбачає необхідність визначення множини його розв’язків при всіх допустимих значеннях параметра. Важливим етапом при розв’язуванні задач з параметром є оформлення відповіді, в якій описують множину розв’язків при різних значеннях параметра.

Параметри, які входять в аналітичний вираз функції, можуть суттєво впливати на її властивості. Це стосується області визначення та множини значень, парності і непарності, монотонності, існування екстремумів та ін. Наприклад, область визначення функції складається із одної точки , що випливає із системи нерівностей . Функція при монотонно спадає на кожному із проміжків та , а при монотонно зростає на цих проміжках. Знаючи певні властивості функції, можна визначати множини значень параметрів, при яких виконуються задані в умові задачі вимоги. Наприклад, якщо відомо, що функція повинна бути монотонно зростаючою, то параметр повинен задовольняти умові . Якщо про рівняння відомо, що воно має непарну кількість розв’язків і функція парна відносно змінної х, то повинна виконуватися умова .

Перелік подібних прикладів можна продовжувати дальше. Ряд науковців зробили свій внесок, досліджуючи окреслені нами проблеми. Але вчителі математики далі стикаються з труднощами, розв’язуючи задачі з параметрами. Саме тому, метою статті є розгляд вправ, які у певній мірі дозволять більш детально і повно розглянути зв'язок між властивостями функцій та значеннями параметрів, які входять у їхній вираз.

Приклад 1. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний корінь?

Розв’язання. Ліва та права частини рівняння є парними функціями, тому разом із коренем а рівняння матиме також корінь – а. Єдиним розв’язком такого рівняння може бути тільки значення 0. При отримуємо . Але назвати це число розв’язком задачі ще рано. Потрібно перевірити, чи при корінь рівняння буде єдиний. У даному випадку рівняння справді має єдиний корінь , що зрозуміло хоча б з геометричних міркувань.

Наголосимо, що перевірка значень параметра, які є розв’язками рівняння у таких задачах є обов’язковою. Наприклад, шукаючи значення параметра, при яких рівняння має єдиний корінь, при ми отримаємо , але воно не буде розв’язком задачі, оскільки рівняння має безліч розв’язків.

Відповідь: .

Приклад 2. Скільки коренів має рівняння ?

Розв’язання. Автори даної задачі мали на увазі наступне перетворення лівої частини рівняння:

.

Це дозволяє звести його при до дослідження двох рівнянь , одне з яких не має розв’язків, а друге має єдиний розв’язок при .

Цей самий результат можна було отримати швидше і простіше, побачивши, що ліва частина рівняння монотонно зростає на всій своїй області визначення . Тому достатньо знайти найменше значення лівої частини. Воно при дорівнює .

Відповідь: при розв’язків нема, при – єдиний розв’язок.

Приклад 3. При яких значеннях параметра рівняння

має рівно три різні корені?

Розв’язання. Запишемо дане рівняння у виді

та розглянемо функцію . Можна переконатися у тому, що вона монотонно зростає і тому кожне своє значення приймає в єдиній точці.

Перетворене рівняння можна записати у виді , звідки випливає, що або . Звідси отримуємо два квадратні рівняння та з коренями при та при .

Тепер дослідимо, коли рівняння матиме рівно три різні корені. Це можливо тільки тоді, коли два із знайдених коренів і тільки вони співпадають. При дістаємо три корені , . При теж маємо три корені , . Від’ємний корінь не може співпадати з додатними коренями , . Корінь , змінюючись при у межах від 0 до , не може дорівнювати кореню , який приймає значення на відрізку Залишається дослідити випадок . Розв’язуючи рівняння , знаходимо його єдиний корінь .

Відповідь. , та .

Приклад 4. Розв’язати систему рівнянь .

Розв’язання. Віднімаючи рівняння системи, отримуємо

співвідношення .

Розглянемо функцію . Вона монотонно зростає на своїй області визначення, тому кожне своє значення приймає в єдиній точці. Тепер стає очевидним те, що з рівності випливає . Повертаючись до системи, дістаємо , звідки . Якщо , то .

Відповідь: при . Якщо , то розв’язків немає.

Приклад 5. Довести, що для довільних значень параметрів та функція має єдину точку екстремуму.

Розв’язання. Знайдемо першу та другу похідні даної функції:

, .

Оскільки при довільному , то неперервна функція монотонно зростає на всій числовій осі від до . Тому рівняння має єдиний корінь, у якому похідна змінює знак. Це значення і є точкою екстремуму, точніше – точкою мінімуму.

Приклад 6. При яких значеннях параметра функція монотонно зростає на всій числовій осі?

Розв’язання. Знайшовши першу похідну , вимагаємо, щоб для довільних виконувалася нерівність . Це можливо тільки тоді, коли у рівнянні старший коефіцієнт , а також дискримінант , (випадок, коли дискримінант додатній та обидва корені від’ємні, який теж нас влаштовує, неможливий – знак коефіцієнта біля підкреслює, що обидва корені будуть додатні).

Із системи дістаємо .

Відповідь: .

Приклад 7. Позначимо через найменше значення функції на проміжку . Побудувати графік функції .

Розв’язання. Абсциса вершини параболи знаходиться у точці . Очевидно, що при найменше значення заданої функції співпадає з її мінімумом і дорівнює . Якщо , то мінімальне значення досягається у точці і дорівнює . При мінімальне значення функція приймає у точці і . Отже, функція задається наступним чином:

Отриманих співвідношень достатньо для побудови графіка.

Приклад 8. Знайти найменше значення функції

.

Розв’язання. Проаналізуємо множину значень заданої функції. Вона складатиметься з усіх значень параметра , при яких рівняння

має розв’язки. Оскільки , причому знак рівності досягається у точках , то . Мінімальне значення із одержаної множини дорівнює .

Відповідь: .

Приклад 9. При яких значеннях параметра графік функції має вертикальну вісь симетрії?

Розв’язання. Нехай пряма є вертикальною віссю симетрії графіка. Тоді у симетричних відносно точки точках та функція приймає рівні значення. Тому буде виконуватися тотожність

.

Спрощуючи одержаний вираз, дістаємо тотожність

,

звідки випливає, що .

Розв’язуючи систему, отримуємо та .

Таким чином, графіки функцій ,

та , які дістаємо при знайдених значеннях параметра, симетричні відносно осі та прямих .

Відповідь: та .

Приклад 10. Знайти всі значення параметра , при яких рівняння має хоч один розв’язок.

Розв’язання. Очевидно, що значення не може бути розв’язком заданого рівняння при жодному значенні . Запишемо рівняння у виді та знайдемо область значень функції . Обчисливши похідну , знаходимо критичні точки . Тепер можна встановити, що точка є точкою мінімуму і , а точка є точкою максимуму та . Таким чином, .

Відповідь: .

Приклад 11. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Нас влаштовує випадок, коли графік функції повністю знаходиться над віссю та дотикається до неї у деякій точці, яка і буде єдиним розв’язком. Для цього мінімум функції повинен дорівнювати нулю. Знайдемо точки мінімуму функції. Маємо , звідки . Очевидно, що одержане значення є точкою мінімуму. Прирівнявши значення функції у цій точці до 0, дістанемо співвідношення для відшукання значень параметра. Отже, , звідки та .

Відповідь: .

Приклад 12. Відомо, що . Довести, що рівняння

має два розв’язки та , причому .

Розв’язання. Перепишемо рівняння у виді

.

Очевидно, що , , . Отже, на інтервалах та є хоча б по одному кореню рівняння . Оскільки функція є квадратним тричленом, то рівняння не може мати більше двох коренів, тобто інших розв’язків нема.

Зрозуміло, що запропоновані приклади повністю не вичерпують можливості застосування властивостей функцій до розв’язування задач з параметрами. Ми пропонуємо для самостійного дослідження ряд задач, деякі з яких використовують застосовані вище властивості функцій, а деякі потребують інших підходів до розв’язування.

1. При яких значеннях параметра функція

неперервна при всіх ?

2. Знайти найменше значення функції

на проміжку .

3. Для яких значень параметра функція приймає найменше значення на проміжку ?

4. Довести, що графік функції перетинає вісь в єдиній точці з проміжку .

5. Для яких значень параметра функція приймає найменше значення на проміжку у точці ?

6. Для яких значень параметра точка є точкою мінімуму функції ?

7. При яких мінімальне значення функції найбільше?

8. Знайти найбільше значення мінімуму функції .

9. Знайти найбільше значення мінімуму функції .

10. При яких значеннях параметра функція має обернену?

11. Для яких дійсних чисел та графіки функцій і мають тільки дві спільні точки?

12. Для яких значень параметра функція є непарною?

13. Знайти умову, якій повинні задовольняти параметри та , щоб функція була непарною.

14. Знайти критичні точки функції .

15. Знайти інтервали монотонного зростання функції .

16. При яких значеннях параметра значення функції у точці та у точках екстремуму, взятих у деякому порядку, утворюють геометричну прогресію?

17. При яких значеннях параметрів та функція є сталою?

18. При яких значеннях параметра найбільше на проміжку значення функції досягається у точці ?

19. При яких значеннях параметра   функція монотонно спадає на всій числовій осі?

20. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний корінь?

21. Знайти найменше додатне значення параметра а, при якому графіки функцій та перетинаються у точці з абсцисою .

22. Розв’язати рівняння .

23. Розв’язати рівняння .

24. При яких значеннях параметра система

має єдиний розв’язок?

25. Розв’язати рівняння .

Висновки та перспективи подальших наукових розвідок. Вчителі повинні не тільки вміти шукати шляхи вирішення подібних задач, але й самостійно створювати їх.