Безусова т. А. Образовательные возможности некорректных задач

В статье рассматриваются особенности понятия культуры математического мышления и компонентов ее составляющих. Проанализировано специфику процесса решения основных групп некорректных задач: задач с недостаточными данными, решение которых предусматривает рассмотрение нескольких случаев; задач с недостаточными данными, не имеющих однозначного решения без существенных дополнительных условий; задач с избыточными данными, не противоречащими друг другу; задач, имеющих противоречивое условие. Предложен подход, в рамках которого некорректные задачи выступают в роли средства развития культуры математического мышления. Автором указано, что дивергентность решения некорректных задач развивает исследовательский интерес, активизирует способность оценивать, сравнивать, строить гипотезы, анализировать и классифицировать полученный материал, развивает прогностические способности (культура абстрактного мышления). Некорректные задачи имеют достаточные потенциальные возможности для развития дивергентного (многовариантного, альтернативного) мышления и могут быть эффективным средством развития культуры математического мышления в процессе обучения учащихся.

Ключевые слова: математическое мышление, культура, некорректные задачи.

Постановка проблемы. Современное образование ориентировано на развитие личности обучаемых и овладение ими системой общеобразовательных компетенций, основой которых является продуктивная мыслительная деятельность по применению полученных знаний в различных ситуациях. В этой связи становится еще более актуальной проблема развития мышления учащихся, приобретение ими таких мыслительных возможностей, которые значительно расширяют сферу использования теоретических знаний. Характеризуя данные возможности в комплексе, целесообразно рассматривать понятие «культура мышления». Существенный вклад в ее формирование могут внести математические и естественнонаучные дисциплины. Поэтому особый интерес представляют математическое и естественнонаучное мышление в их глубокой взаимосвязи как в методологическом, так и содержательном аспектах.

Анализ актуальных исследований. Анализ педагогической и методической литературы показал, что к культуре мышления обучаемых подходят с разных точек зрения и связывают с вопросами совершенствования познавательной деятельности (Н.Н. Егорова, А.Н. Ксенофонтова, А.П. Тряпицина и другие); с ценностными ориентациями личности (В.И. Вернадский, В.Е. Ермолаева, А.В. Кирьякова и другие); с развитием творческих способностей (В.И. Андреев, Т.А. Иванова, Т.Е. Климова, В.Г.Рындак и другие). В качестве путей развития культуры мышления авторы часто рассматривают изменение характера учебной деятельности (коллективная деятельность, создание ситуаций принятия решения, исследовательская деятельность).

Проблемы естественнонаучного мышления обсуждались в работах Г.А.Берулава, В.И. Вернадского, С.А. Суровикиной. Вклад в изучение особенностей математического мышления внесли исследования Р.А. Атаханова, Ю.М. Колягина, А.А.Столяра, А.Я. Хинчина, Л.М. Фридмана. Однако разработка и даже упоминание о культуре математического и естественнонаучного мышления встречаются крайне редко.

Приходится констатировать наличие в развитии культуры математического и естественнонаучного мышления ряда нерешенных вопросов:

1) отсутствие единого взгляда на сущность данного явления;

2) отсутствие совокупности характеристик, которые можно было бы диагностировать, используя доступные педагогу средства;

3) недостаточность дидактических средств, позволяющих повышать как уровень культуры математического и естественнонаучного мышления в целом, так и отдельных ее содержательных характеристик. В качестве средства развития культуры мышления некоторые авторы рассматривают задачи с недостающими или избыточными данными ­– некорректные задачи (Э.Г. Гельфман, В.А. Крутецкий, Н.В. Метельский, Л.М.Фридман, А.Ф. Эсаулов и другие). Однако их развивающий потенциал недостаточно исследован, особенно в плане влияния на культуру математического и естественнонаучного мышления школьников. Как правило, рассматриваются виды некорректных задач, отмечается их положительная роль в развитии мышления. Способы использования таких задач в обучении математике изучали Э.Г. Гельфман, З.П. Матушкина, М.А. Холодная и другие, в обучении физике – С.В. Каплун и А.И. Песин. Однако механизмы применения некорректных задач в качестве средства развития культуры математического и естественнонаучного мышления не раскрыты:

– их развивающие возможности находятся в тени, так как приоритет многих разработанных систем задач остается за образовательными целями, не оказывающими значительного влияния на развитие культуры мышления;

– мало изучены средства развития дивергентного мышления;

– анализ задачного материала, содержащегося в учебных пособиях, позволяет утверждать, что в последних практически отсутствуют некорректные задачи.

Для исследования некорректных задач в указанном качестве имеются необходимые предпосылки:

– наблюдаются тенденция усиления развивающей функции задач и изменения их роли в процессе обучения (Ю.М. Колягин, В.В. Давыдов, Г.И. Саранцев, Д.Б.Эльконин, Э.Г. Гельфман, М.А. Холодная, З.П. Матушкина и другие), а также приближение задач к деятельности человека (Г.Д. Бухарова, О.Я. Емельянова, Г.П. Стефанова, Р.Р.Сулейманова);

– человек часто сталкивается с задачами, условие которых не является необходимым и достаточным для решения, в связи с чем возрастает значимость умения преобразовывать условие задачи с целью получения результата, ограниченного некоторыми рамками;

– в современном естествознании востребовано дивергентное мышление (Дж. Гилфорд, Е. Торренс, Л.Я. Дорфман, К.В. Дрязгунов и другие), в процесс формирования которого могут внести значительный вклад некорректные задачи.

Таким образом, имеет место противоречие между потребностью педагогической практики в использовании некорректных задач как средства развития культуры математического и естественнонаучного мышления и отсутствием теории, раскрывающей методику их использования. Отсюда возникает проблема поиска условий эффективного использования некорректных задач с целью развития культуры математического и естественнонаучного мышления обучаемых.

Цель статьи состоит в том, что теоретически обосновать приемы использования некорректных задач в качестве средства развития у учащихся культуры математического и естественнонаучного мышления в процессе обучения.

Изложение основного материала. Проблема поиска средств и методов обучения, позволяющих развивать основы культуры математического мышления учащихся и эффективно управлять их учебно-познавательной деятельностью, является одной из актуальных проблем методики преподавания математики.

Культуру математического мышления связывают с развитием логического мышления (А.Я. Хинчин, А.А. Столяр), с формированием общих интеллектуальных умений (Г.В. Краснослабоцкая), с развитием творческих способностей (Т.А. Иванова). В перечисленных трактовках раскрываются определенные аспекты данного понятия, интеграция которых представляется важной для выявления механизмов протекания мыслительных процессов.

Структура культуры математического мышления должна отражать специфику предмета математики – математические модели и математические структуры. Математические структуры – основные типы связи, определяющие структуру множеств, рассматриваемых в математике – топологические, порядковые, алгебраические [2]. Эти структуры представляют собой научную базу для математического моделирования и основу для структурирования математического мышления. Приведенная классификация не отражает средств познания действительности и в этом плане является узкой. В качестве основы примем схему математического мышления, предложенную В.А. Тестовым [7], в соответствии с которой математическое мышление содержит не только математические структуры, являющиеся моделями реальных явлений, но и когнитивные структуры (логическую, алгоритмическую, комбинаторную, образно-геометрическую, стохастическую). Математические структуры представляют собой «системы хранения знаний», а когнитивные – результат их схематизации. В данном аспекте под математическим мышлением будем рассматривать процесс отображения объективной действительности, который предполагает формирование когнитивных структур как гомоморфных образов математических структур. В результате образ объекта изучения представляет собой не только присвоение учеником нового знания, но и его приобретение. «Если ученик осуществляет конструирование структур математического объекта, дополнительных к уже имеющимся, то в процессе этого он развивается, расширяются его познавательные возможности» [7, с. 49]. Построенная модель должна представлять собой гомоморфный образ объекта изучения. Другими словами, она должна сохранять основные операции и свойства оригинала. Отображение моделью основных свойств оригинала может быть изоморфным при тождественности структур модели и оригинала.

Как и любая система, математическое мышление должно обладать интегративной характеристикой, в качестве которой может выступать понятие культуры. Под культурой математического мышления будем понимать интегративную характеристику уровня развития математического мышления. Интеграция возникает в результате иерархической упорядоченности структур.

Универсальным дидактическим средством развития математического мышления являются задачи. Большие возможности для развития математического мышления представляет решение задач с избыточными (недостаточными) данными – некорректных задач. Их специфика заключается в направленности на развитие дивергентного (многовариантного, альтернативного) математического мышления. В то время как традиционные задачи развивают конвергентное (логическое, последовательное, однонаправленное) мышление.

Рассмотрим особенности использования некорректных задач в качестве средства развития культуры математического мышления.

Остановимся на понятии некорректной задачи. Задачу будем называть корректной (или корректно поставленной), если выполнены следующие условия (условия корректности): 1) задача имеет решение при любых допустимых исходных данных (существование решения); 2) исходным данным соответствует только одно решение (однозначность задачи). Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию корректности, называются некорректными (или некорректно поставленными).

Смысл первого условия корректности заключается в том, что среди исходных данных нет противоречащих друг другу условий, что исключало бы возможность решения задачи. Второе условие означает, что исходных данных достаточно для однозначной определенности решения задачи. Эти два условия обычно называют условиями математической определённости задачи.

Задачи, исследуемые нами, следует понимать как «математически неопределенные» или «неправильно поставленные» задачи. Кроме того, те задачи, которые исследуются нами в качестве некорректных не будут таковыми являться с точки зрения, например, математической физики.

Некорректные задачи в той или иной степени встречаются при различных подходах к обучению математике. В одном из случаев они являются необходимой составляющей процесса обучения, в другом – примером разнообразного вида задач.

Объем данного нами понятия в контексте указанного определения достаточно велик, поэтому ограничимся некоторыми видами некорректных задач. Некорректные задачи можно разделить на четыре основные группы. (Процесс решения задач, входящих в различные группы, имеет свою специфику.) Задача любой группы предполагает не построение какого-либо алгоритма ее решения, а анализ ее условия или решения (хода решения). В результате такого анализа ее последующее решение обычно не представляет трудности.

1.Задачи с недостаточными данными, решение которых предусматривает рассмотрение нескольких случаев. (Условие таких задач определяет описываемую ситуацию неоднозначно. Необходимо выделить различные случаи, удовлетворяющие условию задачи, и работать с каждым из них в отдельности. Каждый выделенный случай представляет собой стандартную (традиционную) задачу, имеющую одно решение.)

2.Задачи с недостаточными данными, не имеющие однозначного решения без существенных дополнительных условий. (В условии такой задачи отсутствуют необходимые элементы для отыскания ответа на вопрос задачи, поэтому без существенного дополняющего условия задачу решить невозможно.)

3.Задачи с избыточными данными, не противоречащими друг другу. (В условии такой задачи содержится лишнее данное, его необходимо выявить при анализе условия (или на другом этапе работы) и не учитывать при поиске решения. После того, как решение будет найдено, необходимо установить, не противоречит ли оно данному, которое было исключено из рассмотрения.)

4.Задачи, имеющие противоречивое условие. (Условие таких задач содержит в себе несовместные части, то есть не существует никакого объекта, удовлетворяющего взаимно исключающим друг друга частям условия. Задача такого типа не имеет решения. Также в данную группу входят задачи с избыточными данными.)

Мыслительный процесс при решении некорректных задач, как отмечалось ранее, является дивергентным. Дивергентное мышление можно рассматривать как взаимодействие когнитивных структур мышления (преимущественно комбинаторной и стохастической), способствующих нахождению оригинальных и нестандартных решений, и активной личностной позиции учащихся по отношению к познанию. К основным характеристикам дивергентного мышления относят целостность и системность, рефлексивность, инновационность, критичность, способность к самоопределению в ситуации неопределенности, гибкость, продуктивность [1], абстрактность и отвлеченность в сочетании с умением устанавливать взаимосвязи между идеальной моделью и реальным процессом, доказательность и аргументированность в сочетании с готовностью рассматривать альтернативную позицию, разносторонность (подход к проблеме с разных сторон), логическую строгость в сочетании с нелинейностью мышления, дополнительность (единство сознательного, разумного и интуитивного, рационального и иррационального) и др.

Процесс решения некорректной задачи связан преимущественно с комбинаторной структурой математического мышления, позволяющей организовать целенаправленный перебор определенным образом ограниченного круга возможностей, что создает условия для развития дивергентного мышления. Кроме того, немалая роль в решении некорректных задач принадлежит топологической, проективной, алгебраической, логической, стохастической структурам математического мышления. Некорректные задачи имеют достаточные потенциальные возможности для развития всех характеристик дивергентного мышления, но особому влиянию подвергаются многовариантность мышления и «самоопределение в ситуации неопределенности» [1].

Задачи в обучении связаны между собой и с различными психологическими, методическими и другими компонентами учебного процесса, поэтому достижению поставленной цели способствует анализ не отдельно взятых некорректных задач, а их системы. Структура систем некорректных задач определяется их развивающим потенциалом. К развивающей функции следует отнести: на эмпирическом уровне математического мышления – формирование осознанности мыслительной деятельности (анализ содержания задачи с позиции полноты и непротиворечивости, рефлексия деятельности по работе с некорректной задачей, соотнесение отброшенных данных и полученного ответа и др.), на теоретическом – формирование качеств дивергентного мышления (создание упрощенной модели задачи, получение решения задачи как функции от недостаточных данных, обучение выдвижению гипотез и их проверке и др.).

Каждая группы некорректных задач имеет немалый потенциал для развития культуры математического мышления.

При решении задачи с недостаточными данными, решение которых предусматривает рассмотрение нескольких случаев, необходимо различать, когда найденные в условии варианты исчерпывают все возможности и когда они являются только примерами. Анализ условия и поиск решения задачи такого типа базируется на переборе различных комбинаций и частных случаев, удовлетворяющих задаче (комбинаторные структуры). Группирование найденных альтернатив условия задачи, в рамках выявленных связей и отношений между данными, и отыскание закономерностей в их решениях развивают культуру систематизации. Выделение различных случаев, отвечающих условию задачи, подчиняется принципу полной дизъюнкции (культура логических рассуждений). Основа решения – анализ структуры созданного образа (модели), установление зависимости результата и хода решения задачи от параметров и начальных условий, от расположения объектов и количественных соотношений между ними (культура образного мышления).

Рассмотрим пример.

Задача 1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен 50º.

Условие задачи требует рассмотрения двух случаев: 1) угол в 50º находится при вершине треугольника; 2) угол в 50º – при основании равнобедренного треугольника. Для того чтобы у школьников не сформировалось ошибочное представление, что если в задаче четко не определено положение (или место, значение) того или иного элемента, то она относится к задачам с недостаточным набором данных, нужно параллельно рассматривать корректные задачи. Так после разработанной задачи можно предложить задачу с углом, например, 100. Тогда в процессе решения ученики выяснят, что угол может быть только при вершине равнобедренного треугольника.

Задача с недостаточными данными, не имеющая однозначного решения без существенных дополнительных условий, требует обширных знаний об объекте задачи, о связях его с другими объектами, которые могут оказаться полезными при получении ограниченного некими рамками ответа (культура систематизации). Решение задач с недостаточными данными нередко требует привлечения справочных величин, что формирует умение работать с литературой. При решении таких задач ученик сам определяет, какие данные ему еще необходимы и в каком справочнике он их может найти. Кроме того, такие задачи требуют от учащихся указания отношений математических величин, необходимых для решения задачи, умение выводить логические следствия из данных задачи, видеть данные между строк (культура логических рассуждений). Решение задач с недостаточными данными посредством анализа различных вариантов решения и определения диапазона возможных ответов развивает прогностические способности (культура абстрактного мышления).

Выводы. Структура некорректных задач выступает в качестве определяющего фактора в специфике их решения. Условие некорректной задачи содержит в себе потенциальную многовариантость (в зависимости от того, какие исходные данные используются при построении упрощенной модели условия меняется способ решения). Возможность противоречия условий приучает учащихся к осознанной рефлексии мыслительной деятельности. Некорректные задачи могут иметь более одного ответа, а могут не иметь вообще, что способствуют абстрагированию от количественных составляющих задачи и оперированию качественными. Кроме того, дивергентность решения некорректных задач развивает исследовательский интерес, активизирует способность оценивать, сравнивать, строить гипотезы, анализировать и классифицировать полученный материал. Сказанное свидетельствует о том, что некорректные задачи могут быть эффективным средством развития культуры математического мышления.

Перспективы последующих научных исследований. Некорректные задачи могут оказать положительный эффект в формировании общекультурных компетенций обучаемых. Этому вопросу будут посвящены следующие исследования.