Література

1. Карлащук А.Ю. Формування дослідницьких умінь учнів в процесі розв’язування задач з параметрами: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. пед. наук: спец. 13.00.02. «Теорія та методика навчання (математика)» / А.Ю. Карлащук. – Донецьк, 2001. – 20 с.

2. Крутецький В.А. Психология математических способностей школьников / В.А. Крутецкий. – М.: Просвещение, 1968. – 431 с.

3. Немов Р.С. Психология: учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений: В 3-х кн. Кн.2: Психология образования / Р.С. Немов. – М.: Владос, 2001. – 606 с.

4. Развитие творческой активности школьников/ под ред. А.М.Матюшкина. – М.: Педагогика, 1991. – 160 с.

5. Чашечникова О.С. Теоретико-методичні основи формування і розвитку творчого мислення учнів в умовах диференційованого навчання математики: дис. … доктора пед. наук: 13.00.02. / Чашечникова Ольга Серафимівна. – Черкаси, 2011. – 584 с.

РЕЗЮМЕ

Митяшева Г.Ю. К вопросу формирования исследовательских умений учащихся при изучении темы «Функции». В статье рассмотрены некоторые аспекты привлечения учащихся к исследовательской деятельности в процессе обучения математике (на примере применения задач с параметрами в ходе изучения темы «Функции» (алгебра 8-9 классы). Автором на основе анализа психолого-педагогической и методической литературы выделены и проанализированы пять уровней сформированности учебных исследовательских умений учащихся: низкий, средний, уровень выше среднего, высокий и очень высокий уровень. В заключении указано, что внедрение в учебный процесс элементов исследовательской деятельности является одним из важных условий формирования и развития личности, что предполагается требованиями настоящего.

Ключевые слова: исследовательские умения, учащийся, функции, уравнения, неравенства.

SUMMARY

G. Mityasheva. The problem of research skills sheetin studying the topic "Functions". The paper considers some aspects of the involvement of students in research activities in learning mathematics (for example, application settings tasks in the study of the topic "Functions" (Algebra 8-9 classes). The author based on the analysis of psycho-pedagogical and instructional materials selected and analyzed the levels of five academic research skills of students: low, average, above average levels, high and very high. The findings indicated that the introduction of elements in the learning process of research is one of the important conditions for the formation and development of the creative person that provides current requirements.

Keywords: research skills, student, functions, equations, inequalities.

УДК 371.3:51

М.Г. Симонова

Харківська гімназія № 6 «Маріїнська гімназія», м.Харків

Симонова м. Г. Активізація навчальної діяльності учнів на уроках математики за допомогою задач

У статті розкрито практичний аспект конструювання комплексу задач, спрямованого на активізацію навчальної діяльності учнів на прикладі тем «Площа бічної та повної поверхонь геометричних тіл», «Об’єми геометричних тіл», «Статистика та ймовірність». Основними пріоритетами вибору та конструювання системи задач на уроках математики є їх міжпредметна інтеграція; навчання через дослідження, досвід та співробітництво; індивідуалізація навчання; інтерактивність; особистісно-діяльнісний та суб'єктний підходи. Результати апробації комплексу завдань у гімназіях та спеціалізованих школах гуманітарного профілю засвідчили зростання активності та успішності учнів на уроках математики.

Ключові слова:комплекс задач, навчальна діяльність учня, навчальні дослідження, індивідуалізація навчання.

Постановка проблеми. Підвищення уваги суспільства до якості шкільної освіти зумовило перегляд існуючих навчальних планів з математики для загальноосвітніх навчальних закладів. У зв'язку з цим, поновлюються дискусії стосовно доцільності зміни змісту, методів роботи та форм організації навчання математики рівня стандарту, зокрема для учнів, які обрали гуманітарний напрям. Актуальним є і питання добору системи задач, спрямованої на активізацію навчальної діяльності учнів.

Аналіз наукових досліджень. Задачі використовуються як ефективний засіб засвоєння учнями понять, методів, математичних теорій і є найбільш дієвим засобом розвитку культури мислення, прищеплювання вмінь та навичок прикладного застосування математики. Багато різних рекомендацій з побудови систем задач міститься в працях Е. Готмана [1], Д. Пойа [5], Г. Токмазова [9] та інших. Принципам побудови систем задач присвячені роботи М. Денисової [3], В. Далінгера [2], Г. Ковальової [4] та інших.

Мета статті - розкрити практичний аспект конструювання комплексу задач, а отже, і планування навчальної діяльності учнів на прикладі тем «Площа бічної та повної поверхонь геометричних тіл» [7], «Об’єми геометричних тіл» [6], «Статистика та ймовірність» [8].

Виклад основного змісту. Ми розглядаємо задачі як комплексний засіб реалізації мети навчання математики – формування особистісних якостей учня, компетентності, творчості, розвитку творчого мислення. Порядок вивчення задач та методика навчання їх розв'язанню визначаються з урахуванням змісту, логіки й структури, цілей та завдань конкретних тем шкільного курсу математики.

Задачі, тренувальні вправи та інші завдання курсу математики поділяються на чотири рівні складності (початковий, достатній, середній та високий). Вони представляють собою: задачі-вправи з готовими кресленнями (задачі-схеми); серії задач-аналогій; текстові задачі; сюжетні задачі; завдання, що пов'язані з іншими темами шкільного курсу «Математика» (задачі на ймовірність тощо); завдання, що потребують практичного дослідження, вимірювання та моделювання; завдання на повторення, тестові завдання.

Окремо виділяються завдання високого рівня складності: на випробування поточних знань у нестандартній ситуації; на аналіз, доведення й обґрунтування запропонованого твердження; завдання з відкритою відповіддю, на знаходження зайвого, на вибір найбільш слушної відповіді; «письмо з математики» – математичні роздуми на підтвердження або спростування деякого твердження чи проблемного питання; дослідницькі завдання на застосування елементарних статистичних методів обробки інформації.

Наведемо приклади серії задач-аналогій, які пропонуються учням на закріплення одразу після ознайомлення з основними поняттями та формулами. Такі задачі, зазвичай, виконуються всіма учнями. У разі потреби, учитель надає дозовану підтримку, повторює пояснення тощо. Розв'язування першої задачі такого типу розглядається детально (демонструється порядок виконання кроків та оформлення завдання) або частково (без обчислень). Друга задача пропонується для самостійного вирішення і подальшої самоперевірки засвоєння нового матеріалу.

Приклад першої задачі з серії. ЗАЛЕЖНІ ПОДІЇ. У коробці знаходяться 8 червоних, 12 синіх, 9 жовтих та 11 зелених куль. Навмання одну за одною беруть три кулі, причому взяту кулю до коробки не повертають. Знайдіть Р (жовта, жовта, не зелена):

Підказка: Зверніть увагу, що після вибору з коробки однієї жовтої кулі, стала менше не тільки загальна кількість куль, але й кількість куль жовтого кольору. Також зауважте, що після вибору двох перших куль, у коробці залишилося 29 – 2 або 27 куль, які не є зеленими.

Хід розв'язування: Р(жовта,жовта,не зелена)=Р(жовта)·Р(жовта)· Р(не зелена)

Спростіть__________________________________________

Відповідь: Р (жовта, жовта, не зелена) = .

Задачі на готових малюнках та сюжетні задачі на визначення слугують для закріплення вивчених понять та означень.

Задача першого рівня складності (на визначення типу сполуки). ПАРОЛІ. Вам потрібно зареєструватися на веб-сайті. Для цього Вам необхідно вибрати пароль, що складається з 6 цифр без повторень. Скільки варіантів паролю Ви можете обрати?

Очікувана відповідь: 151200 варіантів паролю.

На рис. 1 представлено приклади задач другого рівня складності на знаходження об'ємів кожної з представлених фігур на готових малюнках. За необхідності, відповідь до задачі округлюється. Для розв'язання такого завдання необхідно використати метод розбиття фігури на дві та знайти об'єм кожної з отриманих фігур.

Рис. 1. Приклад задач на готових малюнках

Задача. ВИМІРЮВАННЯ. Знайдіть реальний об'єкт у формі піраміди або конуса. Виміряйте об'єкт і знайдіть його об'єм.

Вимоги до оформлення задач на вимірювання можуть бути різними: а) стандартний математичний запис; б) додаткове виконання макету; в) комп'ютерне представлення задачі за допомогою спеціальних програм. Такі задачі можна відносити до третього та четвертого рівнів складності в залежності від вимог щодо їх оформлення, ступеня ініціативності та творчого підходу до цього питання самих учнів. Кількість розв'язків таких задач є невизначеною. Для успішного розв'язання задач, які є комбінованими за змістом, доцільно актуалізувати знання, уміння та навички учнів із тем, які не є наразі об'єктом безпосереднього вивчення. Вимоги щодо оформлення деяких текстових і сюжетних задач третього рівня складності можуть різнитися в залежності від математичної підготовки учнів: а) покроковий план без обґрунтування; б) розв'язання з частковим обґрунтуванням; в) у повному обсязі.

Задача. Піраміда з квадратом в основі є підставкою для конуса, як показано на малюнку (рис. 2).

Основа конуса вписана у квадрат. Рівнобедрений Δ ABC перпендикулярний до основи піраміди. DE – твірна конуса. Знайдіть об'єм фігури.

Очікувана відповідь: V = .

Рис. 2.

Задача. КОМУНАЛЬНІ ПОСЛУГИ. Система міського водопостачання складається із послідовності з 4 насосів (рис. 3). Вода поступає в систему з точки А, прокачується насосами 1, 2, 3 і 4, та залишає її в точці В. Відомо, що ймовірність виходу з ладу будь-якого з чотирьох насосів становить 0,01. Яка ймовірність того, що вода буде вільно просуватися в системі з точки А до точки В?

Рис. 3

Очікувана відповідь: 96 %.

Серед практичних завдань превалюють задачі з повсякденного життя, для розв'язання багатьох із них учню необхідно використати додаткову інформацію: запропонований Інтернет-ресурс, пряме посилання на освітній сайт чи супутню літературу. Наприклад, в умові наступних завдань окремі слова або словосполучення підкреслено, що означає наявність гіперпосилання на освітній сайт за поняттям, темою, або сюжетом задачі.

У процесі навчання математики, зокрема для розв'язування та оформлення задач третього рівня складності, можна використовувати методи інформаційних та комунікаційних технологій, які включають у себе моделювання, аналіз, проектування, методи передачі, збору, продукування, накопичення, збереження, обробки, передачі та захисту інформації за допомогою сучасних апаратних та програмних засобів.

Такі задачі дають змогу застосовувати метод реферативно-дослідницької діяльності. З огляду на індивідуальні уподобання учнів можна розширити навчальне завдання і запропонувати учням, крім розв'язування самих задач, провести додатково навчальне дослідження з подальшим оформленням у вигляді реферату, сюжетною презентацією тощо.

Задача. ВУЛКАНИ. Катла є одним із найбільших вулканів в Ісландії. Катла вибухав кожні 40 - 80 років у тисячу років до останнього виверження в 1918 році. Катла має 1512 метрів у висоту та близько 30 кілометрів у діаметрі. Припустимо, що модель вулкану Катла має форму конуса. Знайдіть об'єм у кубічних кілометрах каміння, необхідного, щоб заповнити вулкан.

Для учнів, які цікавляться географією, тематика додаткових завдань до зазначеної вище задачі може бути така: «Вплив вулканів на кліматичні умови на планеті», «Вулкани. Цікаві факти, про які Ви не знали», «Географія вулканів» тощо.

Задача. АРХІТЕКТУРА. Будівля Пантеону в Римі містить у собі ідеальну сферу. Основна частина будівлі має форму циліндра з 142 футами в діаметрі, купольний дах якої має форму півсфери. Загальна висота будівлі сягає 142 футів. Знайдіть об'єм внутрішнього простору Пантеону.

Для учнів, які є небайдужими до історії та сучасності мистецтва й архітектури, до попередньої задачі можна запропонувати таку тематику дослідної діяльності: «Геометрія в архітектурі», «Історична реконструкція римських споруд» тощо.

Інтерактивні методи навчання також сприяють активізації навчальної діяльності учнів. Наприклад, учні, які мають інтерес до соціології та її методів досліджень, у процесі розв'язування сюжетної задачі щодо прогнозування результатів, можуть зацікавитись пропозицією вчителя розробити та провести імітаційну гру «Шкільний центр незалежних соціологічних досліджень».

Задача. ПРОГНОЗУВАННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ. У 100 респондентів було запитано, за кого з двох кандидатів, А чи В, вони будуть голосувати на майбутніх виборах. Скільки респондентів відповіли «за кандидата А», якщо похибка складає 9,6%?

Для учнів, які активно користуються Інтернетом та соціальними мережами, може бути цікавим дослідження на тему «Одна хвилина в Інтернеті».

Задача. ІНТЕРНЕТ. За останніми статистичними даними 55% дорослих мають вдома або на роботі доступ до швидкісного інтернет-з'єднання. Яка ймовірність того, що точно 2 з 5 випадково обраних дорослих мають такий доступ?

План розв'язання:

1. 55% = . 2. . 3.

Очікувана відповідь: .

Для учнів, які цікавляться біологією, за мотивами наступної сюжетної задачі можна запропонувати відповідну імітаційну гру або навчальне дослідження за темою «Як напрацювати зорово-моторну реакцію».

Задача. ФІЗІОЛОГІЯ. Було проведено тест на зорово-моторну координацію 1800 учнів. Дані часу реакції мають нормальний розподіл із середнім значенням 0,35 секунди та стандартним відхиленням у 0,05 секунди.

а) Знайдіть наближену кількість учнів, які показали час між 0,25 та 0,45 секунди.

б) Яка ймовірність того, що випадково обраний учень продемонструє час реакції більше 0,4 секунди?

Також у навчанні можна використовувати метод проектів. Наприклад, для учнів, які захоплюються комп'ютерною графікою та анімацією, можна запропонувати міні-проекти на теми «Каркасне моделювання у комп'ютерній анімації», «Знайомство з векторною графікою» тощо.

Отже, наведені приклади дозволяють зробити висновок про те, що будь-яку задачу третього рівня складності можна перетворити на творче навчальне дослідження.

Завдання четвертого рівня складності розглядаються на уроці після опрацювання завдань попередніх рівнів. Рівень складності таких задач визначається нами з огляду на гуманітарне спрямування учнів, а отже, на програму предмету «Математика» рівня стандарту. Наведемо приклади типів задач цього рівня.

Для узагальнення та систематизації ключових понять, означень та формул учням пропонуються, насамперед, завдання типу «Знайти зайве». Такі задачі активізують навчальну діяльність, провокують дискусію у випадку, якщо думки учнів не співпадають, формують уміння аргументувати свої висновки тощо.

Задача. Визначте зайву фігуру. Наведіть свої міркування:1) куля радіуса r; 2) циліндр радіуса r і висотою h; 3) прямокутна призма з площею основи r² та висотою πr; 4) конус радіусом r і висотою 3h.

Завдання типу «Випробування» пропонуються учням для перевірки уміння застосовувати набуті знання у нестандартних ситуаціях, якими для учнів гуманітарного профілю є текстові задачі з ускладненою або незвичною умовою та вимогою.

Задача. До школи та зі школи Денис може йти пішки, їхати на велосипеді, або доїхати машиною разом з другом. Припустимо, що за тиждень він ходив пішки 60% часу, їздив на велосипеді 20% часу, їхав машиною зі своїм другом 20% часу в довільному порядку. Скількома способами можна представити шлях до школи та зі школи? Припустимо, що зі школи він повертався так само.

У якості індивідуального або індивідуально-групового домашнього завдання можна запропонувати задачі двох наступних типів.

Завдання типу «Обґрунтування»:

Задача. Поясніть, чому формула бічної поверхні прямого конуса не поширюється на похилі конуси.

Задача. Визначте, чи можна стверджувати, що запис C (n, r) = P (n, r) є завжди, інколи або ніколи правильним. Відповідь обґрунтуйте.

Очікувана відповідь: Запис C (n, r) = P (n, r) є правильним при r =1, оскільки... .

Завдання типу «Відкрите питання»:

Задача. Виконайте малюнок призми об'ємом у 50 см³.

Задача. Намалюйте два різні конуси з однаковим об'ємом.

Навчання кожної нової теми курсу математики доцільно розпочинати з певної сюжетної ситуації та постановки пов'язаної з темою навчальної проблеми або спірного питання – відповідним завданням типу «Математичний твір». На розсуд учителя, такі завдання можна пропонувати як міні-проекти на початку або розглядати їх наприкінці вивчення теми.

Завдання. За результатами підсумкового тесту з алгебри учні класу отримали такі бали: 72, 70, 77, 76, 90, 68, 81, 86, 34, 94, 71, 84, 89, 67, 19, 85, 75, 66, 80, 94. Яка із статистичних характеристик даного ряду даних (середнє значення, мода, медіана), на Вашу думку, найкраще репрезентує результати тесту і чому? Як зміняться характеристики ряду у випадку, якщо учитель підвищить результат кожного учня на 5 балів?

Кожна тема завершується: а) завданнями на повторення; б) тестовими завданнями; в) завданнями, необхідними для вивчення наступної теми курсу. Такі задачі є різними за математичним змістом і можуть охоплювати як поточний, так і попередній шкільний курс математики.

Завдання типу «Стандартизоване тестування»: Компанія будує конічні намети для фестивалю. Якщо радіус основи дорівнює 6 футів і апофема 10 футів, якою буде площа бічної поверхні конічного намету? A. 48π; B. 60π; C. 12π D. 384π.

Завдання типу «Повторення»: Літак був у трьох милях над рівнем моря, коли почав підніматися на кут у 3,5°. Якщо кут підйому є сталим, яка відстань буде у літака над рівнем моря після 50 миль польоту?

Завдання типу «Для наступної теми» (тема «Координати у просторі»): Визначте, чи належать координати точки графіку функції: 1) y = 3x + 5, (4, 17); 2) y = -4x+1, (-2, 9); 3) y = 7x - 4, (-1, 3).

Висновки та перспективи подальших наукових розвідок. Результати апробації висвітленого вище комплексу завдань у гімназіях та спеціалізованих школах гуманітарного профілю засвідчили зростання активності та успішності учнів на уроках математики. Основними пріоритетами вибору та конструювання системи задач на уроках математики є їх міжпредметна інтеграція; навчання через дослідження, досвід та співробітництво; індивідуалізація навчання; інтерактивність; особистісно-діяльнісний та суб'єктний підходи. Проведене дослідження не вичерпує всіх аспектів порушеної проблеми, що вможливлює перспективи наукового пошуку, зокрема розроблення комплексу задач з математики для учнів інших профілів.