Ірраціональність у трикутнику та колі.

Надалі будемо користуватись такими позначеннями і формулами [3, c. 72-74]:

– довжини сторін трикутника ;

– довжини висот , опущених відповідно на сторони ;

– довжини медіан, проведених відповідно до сторін ;

– довжини бісектрис відповідно кутів ;

– периметр ; – площа ;

, , (1)

, , (2)

, , (2^`)

, , (2^``)

(3)

Для скорочення записів відрізок раціональним (ірраціональним, трансцендентним), якщо його довжина є раціональне (ірраціональне, трансцендентне) число. Позначимо через множину чисел .

1. Прямокутний трикутник.

Теорема 1. Існує прямокутний трикутник, у якого всі числа множини ірраціональні.

Доведення. Прикладом такого трикутника є трикутник із сторонами , у якого .

Теорема 2. У прямокутному трикутнику з раціональними сторонами принаймні дві бісектриси ірраціональні.

Доведення. Позначимо довжини катетів через , , довжину гіпотенузи через . Тоді .

З рівностей (2) для бісектрис маємо , тоді

, звідки випливає, що і не можуть бути раціональними одночасно, одна з них або обидві ірраціональні.

Трикутник, у якого має

Трикутник, у якого має .

Наслідок. Не існує прямокутного трикутника з раціональними сторонами, у якого всі числа множини раціональні.

Теорема 3. У прямокутному трикутнику з раціональними сторонами медіани, проведені до катетів, ірраціональні.

Д оведення. Не зменшуючи загальності можна вважати числа натуральними. Використаємо формули для натуральних піфагорових трійок:

, ,

Тоді , для деякого .

. З трикутника маємо

.

Безпосередньою перевіркою отримуємо нерівності

,

Рис. 2

звідки випливає, що , оскільки і - два сусідніх натуральних числа і між ними немає точного квадрата натурального числа.

. З трикутника маємо

звідки випливає що ділиться на 4, що неможливо, оскільки –непарне число.

Медіана , очевидно, дорівнює .

Теорему 3 доведено.

2. Рівнобедрений трикутник.

Теорема 3. У рівнобедреному трикутнику з раціональними сторонами і площею медіани, проведені до бічних сторін, ірраціональні.

Д оведення. - медіана, проведена до сторони , - медіана, проведена до сторони , , – висота трикутника , , – основа трикутника , .

Не зменшуючи загальності, числа

можна вважати натуральними.

Використаємо формулу (3):

.

Рис. 3

У нас , , , , тому , звідки .

Так як числа - натуральні, трикутник - прямокутний, , то його сторони утворюють піфагорову трійку натуральних чисел, а тому

, , для деякого .

Тоді , що неможливо, оскільки зліва парне число, а справа непарне.

У випадку , , для деякого будемо мати

, що також неможливо.

Теорему 4 доведено.

Теорема 5. Існує рівнобедрений трикутник з раціональними сторонами, у якого всі три бісектриси і три висоти раціональні.

Доведення. Таким є, наприклад, трикутник, у якого . Тоді за формулами (1) і (2) знайдемо, що , , ,

, а . Для цього трикутника всі числа множини , крім одного, раціональні.